Ensino Superior

amarcelo · Mensagem não lida por **amarcelo** » 16 Mai 2014, 19:48

Pessoal preciso urgente de ajuda nessas questões, não consigo desenvolvê-las, não adianta só a resposta. Obrigado pela força.

1 – Dois terços de um capital foram empregados a 7% a.a. e o restante do capital foi empregado a 9% a.a.. No final de 3 anos a diferença entre os juros obtidos é de R$ 120,00. Determinar o capital.

2 – O pagamento do condomínio do apartamento de Guilherme tem vencimento no dia 10 de cada mês. Se pago antes do dia 5, tem desconto de 5% e quando pago após o dia 10 há uma multa de 10% mais juros simples à taxa mensal de 6% calculado no período do atraso. Se o valor do condomínio é R$ 140,00 e em 03/12 foram pagos os meses de vencimento 10/11 e 10/12, qual foi o total desembolsado por Guilherme?

3 – João aplicou R$ 1.200,00 a juros simples, à taxa de 120% a.a., de 15/06 a 22/09 do mesmo ano. Qual o montante obtido por João?

4 – O desconto comercial de um título foi de R$ 150,00, adotando-se uma taxa de juros simples de 30% ao ano. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se o valor nominal do referido título fosse de R$ 4.000,00?

5 – Um título foi descontado a uma taxa de 8% ao mês. Sabendo-se que o seu vencimento é daqui a alguns dias. Se o valor da face (nominal) é de R$ 1.800,00 e o valor liberado (atual) é de R$ 1.603,75, qual o prazo desta operação? Considere desconto racional composto.

6 – Luiza depositou R$ 1.100,00, R$ 2.020,00 e R$ 3.330,00 no início de cada um dos três meses de um trimestre, respectivamente. Se neste trimestre os índices de remuneração mensal do capital foram de 2,2%, 3,5% e 1,8%, respectivamente, qual o valor acumulado ao final do trimestre?

7 – Quanto se deve investir hoje para se obter R$ 517.900,00 em três meses, no regime de juros compostos, a uma taxa de 13,8% ao ano?

8 – Você recebe uma proposta para investir hoje R$ 300.000,00 e receber R$ 321.596,29 dentro de cinco meses. Qual a taxa de juros compostos mensal que foi utilizada nesta proposta?

9 - Qual será o montante de R$ 3.580,00, a juros compostos de 37% ao ano, aplicados por 4 anos e 3 meses?

10 – Ana comprou um eletrodoméstico e vai pagá-lo em 30, 60 e 90 dias pagando R$ 351,54, R$ 381,42 e R$ 413,84, respectivamente. Se a loja cobra juros compostos de taxa 8,5% a.m., qual o valor à vista deste bem?

Mensagem não lidapor **olgario** » 04 Jun 2014, 09:55 · Mensagem não lida por **olgario** » 04 Jun 2014, 09:55

1 – Dois terços de um capital foram empregados a 7% a.a. e o restante do capital foi empregado a 9% a.a.. No final de 3 anos a diferença entre os juros obtidos é de R$ 120,00. Determinar o capital.

Resolução:
Seja:
[tex3]C= capital[/tex3]
[tex3]i_1=7\%\; a.a.[/tex3]
[tex3]i_2=9\%\; a.a.[/tex3]
[tex3]n=3[/tex3]
Temos: [tex3]J=C\times i \times n[/tex3]
[tex3]\left(\frac{2}{3}C\times\frac{7}{100}\times 3\right)-\left(\frac{1}{3}C\times\frac{9}{100}\times3\right)=120[/tex3]
[tex3]\left(\frac{2}{3}C\times0,07\times3\right)-\left(\frac{1}{3}C\times0,09\times3\right)=120[/tex3]
[tex3](0,14C)-(0,09C)=120[/tex3]
[tex3]0,05C=120[/tex3]
[tex3]C=\frac{120}{0,05}\rightarrow \boxed{C= R\$\,2.400,00}[/tex3]

2 – O pagamento do condomínio do apartamento de Guilherme tem vencimento no dia 10 de cada mês. Se pago antes do dia 5, tem desconto de 5% e quando pago após o dia 10 há uma multa de 10% mais juros simples à taxa mensal de 6% calculado no período do atraso. Se o valor do condomínio é R$ 140,00 e em 03/12 foram pagos os meses de vencimento 10/11 e 10/12, qual foi o total desembolsado por Guilherme?

Mês de novembro

[tex3]C=140,00[/tex3]
[tex3]n=Dias\;em\;atraso=23[/tex3]
[tex3]i=6\%\: a.m.=72\%\;a.a.[/tex3]
[tex3]J=C\times\,i\,\times\,n[/tex3]
[tex3]J=140,00\times\frac{0,72}{360}\times23[/tex3]
[tex3]J=140,00\times0,002\times23=6,44[/tex3]
[tex3]Multa=\frac{10}{100}\times140,00[/tex3]
[tex3]Multa=0,1\times140,00=14,00[/tex3]
[tex3]Total\; pago=140,00+6,44+14,00=160,44[/tex3]

Mês de Dezembro

[tex3]Desconto=\frac{5}{100}\times140,00[/tex3]
[tex3]Desconto=0,05\times140,00=7,00[/tex3]
[tex3]Valor\;pago=140,00-7,00=133,00[/tex3]

[tex3]Total\; Desembolsado=160,44+133,00=\boxed{293,44}[/tex3]

3 – João aplicou R$ 1.200,00 a juros simples, à taxa de 120% a.a., de 15/06 a 22/09 do mesmo ano. Qual o montante obtido por João ?

[tex3]C=1200,00[/tex3]
[tex3]i=120\% \;a.a.[/tex3]
[tex3]n=100\; dias[/tex3] ----> [15/6 a 22/9]
[tex3]M=C\left(1+i\times n\right)[/tex3]
[tex3]M=1200,00\left(1+\frac{120}{100}\times\frac{100}{360}\right)[/tex3]
[tex3]M=1200,00\left(1+1,2\times0,2777777778\right)[/tex3]
[tex3]M=1200,00\left(1+0,3333333334\right)[/tex3]
[tex3]M=1200,00\left.(1,333333333\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{M=1600,00}[/tex3]

4 – O desconto comercial de um título foi de R$ 150,00, adotando-se uma taxa de juros simples de 30% ao ano. Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se o valor nominal do referido título fosse de R$ 4.000,00 ?

[tex3]D_c=Valor\;do\;desconto=150,00[/tex3]
[tex3]N=Valor\;nominal\;do\;titulo=4000,00[/tex3]
[tex3]i=Taxa\;de\;desconto=30\%\;a.a.=\frac{30}{12}*=2,5\%\;a.m.[/tex3] [tex3]*[/tex3] (Para os juros simples)
[tex3]n=\;?[/tex3]

A fórmula do desconto comercial simples é dada por:

[tex3]D_c=N\times i\times n[/tex3]
[tex3]n=\frac{D_c}{N\times i}[/tex3]
[tex3]n=\frac{150,00}{4000,00\times\frac{2,5}{100}}[/tex3]
[tex3]n=\frac{150,00}{4000,00\times0,025}[/tex3]
[tex3]n=\frac{150,00}{100}[/tex3]
[tex3]\boxed{n=1,5}[/tex3] ---> (um mês e meio)

5 – Um título foi descontado a uma taxa de 8% ao mês. Sabendo-se que o seu vencimento é daqui a alguns dias. Se o valor da face (nominal) é de R$ 1.800,00 e o valor liberado (atual) é de R$ 1.603,75, qual o prazo desta operação? Considere desconto racional composto.

Seja:
[tex3]N=Valor\;Nominal=1.800,00[/tex3]
[tex3]V_a=Valor\;actual=1.603,75[/tex3]
[tex3]i=taxa=8\%\; a.m.[/tex3]
[tex3]n=prazo=\; ?[/tex3]

A fórmula para o desconto racional composto é dada por:

[tex3]N=V_a(1+i)^n[/tex3]
[tex3]1.800,00=1.603,75(1+\frac{8}{100})^n[/tex3]
[tex3]1.800,00=1.603,75(1+0,08)^n[/tex3]
[tex3]1.800,00=1.603,75(1,08)^n[/tex3]
[tex3](1,08)^n=\frac{1.800,00}{1.603,75}[/tex3]
[tex3](1,08)^n=1,122369447[/tex3]
[tex3]log_{\small(1,08)}(1,08)^n=log_{\small(1,08)}1,122369447[/tex3]
[tex3]n= 1,500006063[/tex3]
[tex3]\boxed{n=1,5}[/tex3] ---> (um mês e meio)

Prova real:

[tex3]N=V_a(1+i)^n[/tex3]
[tex3]N=1.603,75(1+0,08)^{1,500006063}[/tex3]
[tex3]N=1.603,75(1,08)^{1,500006063}[/tex3]
[tex3]N=1.603,75\times1,122369447[/tex3]
[tex3]N=1.800,00[/tex3]

6 – Luiza depositou R$ 1.100,00, R$ 2.020,00 e R$ 3.330,00 no início de cada um dos três meses de um trimestre, respectivamente. Se neste trimestre os índices de remuneração mensal do capital foram de 2,2%, 3,5% e 1,8%, respectivamente, qual o valor acumulado ao final do trimestre ?

[tex3]Depositos:\;(1^o) =1.100,00\,;\;\;(2^o)=2.020,00\,;\;\;(3^o)=3.330,00[/tex3]
[tex3]Taxas\;\;respectivas:\hspace{6pt}2,2\%\hspace{50pt}3,5\%\hspace{60pt}1,8\%[/tex3]
[tex3]\frac{2,2}{100}=0,022)\;\;\;\;\;\;\frac{3,5}{100}=0,035)\;\;\;\;\;\;\;\frac{1,8}{100}=0,018)[/tex3]
[tex3]1.100,00\times0,022=24,20[/tex3]
[tex3]2.020,00\times0,035=70,70[/tex3]
[tex3]3.330,00\times0,018=59,94[/tex3]
[tex3](1.100,00+24,20)=1.124,20\hspace{40pt}(2.020,00+70,70)=2.090,70\hspace{40pt}(3.330,00+59,94)=3.389,94[/tex3]
[tex3]1.124,20+2.090,70+3.389,94=\boxed{6.604,84}[/tex3]

7 – Quanto se deve investir hoje para se obter R$ 517.900,00 em três meses, no regime de juros compostos, a uma taxa de 13,8% ao ano ?

[tex3]M=517.900,00[/tex3]
[tex3]i=13,8\%\; a.a.[/tex3]
[tex3]n=3\; meses[/tex3]
[tex3]C=\;?[/tex3]

Considerando que a taxa dada é anual, e o período dado é em meses, vamos saber qual a taxa equivalente mensal:
Um ano =12 meses. Então temos:

[tex3]i_{12}=\sqrt[12]{1+\frac{13,8}{100}}-1[/tex3]
[tex3]i_{12}=\sqrt[12]{1+0,138}-1[/tex3]
[tex3]i_{12}=\sqrt[12]{1,138}-1[/tex3]
[tex3]i_{12}=0,01083092904=0,01083092904\times100=1,083092904\%\; a. m.[/tex3]

A fórmula para achar o montante para os juros compostos é dada por:

[tex3]M=C(1+i)^n[/tex3]
[tex3]517.900,00=C(1+0,01083092904)^3[/tex3]
[tex3]517.900,00=C(1,01083092904)^3[/tex3]
[tex3]517.900,00=C\times1,0328445985[/tex3]
[tex3]C=\frac{517.900,00}{1,0328445985}=501.430,0365[/tex3]
[tex3]\boxed{C=501.430,04}[/tex3]

Uma outra hipótese de resolução seria a seguinte:

Seria a de converter a taxa anual em trimestral.
Como 1 ano tem 4 trimestres, então teríamos:

[tex3]i_{4}=\sqrt[4]{1+\frac{13,8}{100}}-1[/tex3]
[tex3]i_{4}=\sqrt[4]{1,138}-1=0,03284598477\times100=3,284598477\%\;a.t.\;\;(ao\;trimestre)[/tex3]
[tex3]M=C(1+i)^n[/tex3]
[tex3]517.900,00=C(1+0,03284598477)^n[/tex3]
[tex3]517.900,00=C(1,03284598477)^{1{\small\;trimestre}}[/tex3]
[tex3]517.900,00=C(1,03284598477)[/tex3]
[tex3]C=\frac{517.900,00}{1,03284598477}=501.430,0367[/tex3]
[tex3]\boxed{C=501.430,04}[/tex3]

8 – Você recebe uma proposta para investir hoje R$ 300.000,00 e receber R$ 321.596,29 dentro de cinco meses. Qual a taxa de juros compostos mensal que foi utilizada nesta proposta ?

Seja:
[tex3]C=300.000,00[/tex3]
[tex3]M=321.596,29[/tex3]
[tex3]n=5\;meses[/tex3]
[tex3]i=\;?[/tex3]

[tex3]M=C(1+i)^n[/tex3]
[tex3]321.596,29=300.000,00(1+i)^5[/tex3]
[tex3]\frac{321.596,29}{300.000,00}=(1+i)^5[/tex3]
[tex3]1,071987633=(1+i)^5[/tex3]
[tex3](1+i)^5=1,071987633[/tex3]
[tex3]\sqrt[5]{(1+i)^5}=\sqrt[5]{1,071987633}[/tex3]
[tex3]1+i=1,014[/tex3]
[tex3]i=1,014-1[/tex3]
[tex3]i=0,014[/tex3]
[tex3]i=0,014\times100[/tex3]
[tex3]\boxed{i=1,4\%\;a.m.}[/tex3]

9 - Qual será o montante de R$ 3.580,00, a juros compostos de 37% ao ano, aplicados por 4 anos e 3 meses ?

Seja:
[tex3]C=3.580,00[/tex3]
[tex3]J=37\%\;a.a.[/tex3]
[tex3]n=4\;anos\;e\:3\;meses[/tex3]
[tex3]M=\;?[/tex3]

[tex3]M=C(1+i)^{n+\frac{m}{k}}[/tex3]
[tex3]M=3.580,00\left(1+\frac{37}{100}\right)^{4+\frac{3}{12}}[/tex3]
[tex3]M=3.580,00(1+0,37)^{4+\frac{3}{12}}[/tex3]
[tex3]M=3.580,00(1,37)^{\frac{48+3}{12}}[/tex3]
[tex3]M=3.580,00(1,37)^{\frac{51}{12}}[/tex3]
[tex3]M=3.580,00(1,37)^{4,25}[/tex3]
[tex3]M=3.580,00\times3,811205885[/tex3]
[tex3]M=13.644.11707[/tex3]
[tex3]\boxed{M=13.644,12}[/tex3]

Outra hipótese poderia ser a seguinte:

Transformar a taxa anual na sua equivalente mensal, e transformar os 4 anos e 3 meses, em 51 meses.
[tex3]i_{12}=\sqrt[12]{1,37}-1=0,026581374746\times100=2,658137475\%\;a.m.\;\;ou\,2 ,658\%\;a.m.[/tex3] Arrd.p/ defeito.
[tex3]M=3.580,00(1+0,026581374746)^{51}[/tex3]
[tex3]M=3.580,00(1,026581374746)^{51}[/tex3]
[tex3]M=13.644,1170686[/tex3]
[tex3]\boxed{M=13.644,12}[/tex3]

10 – Ana comprou um eletrodoméstico e vai pagá-lo em 30, 60 e 90 dias pagando R$ 351,54, R$ 381,42 e R$ 413,84, respectivamente. Se a loja cobra juros compostos de taxa 8,5% a.m., qual o valor à vista deste bem ?

Vamos chamar de [tex3]PV[/tex3] o preço à vista desse electrodoméstico, e vamos igualar esse [tex3]PV[/tex3] ao valor presente das três prestações, as quais serão trazidas para esse valor presente pelas expressões:[tex3](1+0,085)[/tex3] , para a 1ª prestação vencível em um mês; [tex3](1+0,085)^2[/tex3] , para a prestação vencível em dois meses; e [tex3](1+0,085)^3[/tex3] , para a prestação vencível em três meses.

Assim temos:

[tex3]PV=\frac{351,54}{(1+0,085)}+\frac{381,42}{(1+0,085)^2}+\frac{413,84}{(1+0,085)^3}[/tex3]
[tex3]PV=\frac{351,54}{1,085}+\frac{381,42}{1,177225}+\frac{413,84}{1,277289125}[/tex3]
[tex3]PV=324,00+324,00+324,00[/tex3]
[tex3]\boxed{PV=972,00}[/tex3]

Mensagem não lidapor **olgario** » 19 Jun 2014, 03:19 · Mensagem não lida por **olgario** » 19 Jun 2014, 03:19

Em relação a esta última questão nº 10, sendo [tex3]PV[/tex3] o [tex3]P[/tex3] reço à [tex3]V[/tex3] ista do electrodoméstico, iremos trazer-lo para o Valor Presente, descapitalizando o valor das prestações retirando-lhes deste modo o valor dos respectivos juros,visto que, aquelas quando dadas no enunciado já têm o juro incluído. E fazê-mo-lo pela seguinte Fórmula:

[tex3]P[/tex3] reço à [tex3]V[/tex3] ista [tex3]=\frac{N}{(1+i)^n}[/tex3]

Onde: [tex3]N=Valor Nominal[/tex3] de cada prestação por inteiro, isto é, com juros incluídos.

[tex3]\boxed{{(1+i)^n}}[/tex3] é o Factor de Capitalização (ou de Valor Futuro) a juros compostos.

e

[tex3]\boxed{\frac{1}{(1+i)^n}}[/tex3] o Factor de Actualização (ou de Valor Presente).

Deste modo enunciamos:

[tex3]PV=\frac{N}{(1+0,085)^1}[/tex3] , para a prestação vencível em um mês.
[tex3]PV=\frac{N}{(1+0,085)^2}[/tex3] , para a prestação vencível em dois meses,
[tex3]PV=\frac{N}{(1+0,085)^3}[/tex3] , para a prestação vencível em três meses.

Assim temos:

[tex3]PV=\frac{351,54}{(1+0,085)^1}+\frac{381,42}{(1+0,085)^2}+\frac{413,84}{(1+0,085)^3}[/tex3]
[tex3]PV=\frac{351,54}{1,085}+\frac{381,42}{1,177225}+\frac{413,84}{1,277289125}[/tex3]

[tex3]PV=324,00+324,00+324,00\;\;[/tex3] ---> Repare que, uma vez descapitalizadas, ou desprovidas de juros, as [tex3]\text{ }[/tex3] prestações foram trazidas para o Valor Presente,
[tex3]\text{ }[/tex3] assumindo um valor unitário entre elas.
[tex3]\boxed{PV=972,00}[/tex3]

Repare que a fórmula utilizada é a inversa da Capitalização para os Juros Compostos:
A primeira Capitaliza. A segunda Descapitaliza.

[tex3]\boxed{M=C(1+i)^n}\text{ e }\boxed{C=\frac{M}{(1+i)^n}}[/tex3]

ou

[tex3]\boxed{VF=VP(1+i)^n}\text{ e }\boxed{VP=\frac{VF}{(1+i)^n}}[/tex3]

[tex3]VF= Valor Futuro[/tex3]

[tex3]VP=Valor Presente[/tex3]

Neste caso o Preço à Vista do electrodoméstico equivale ao Capital ou Valor Presente

enquanto que o Valor Nominal equivale ao Montante ou Valor Futuro

Se a loja tivesse permitido à Ana pagar o electrodoméstico em 3 meses e sem juros, neste caso capitalizáveis, ela pagaria mensalmente [tex3]R\$\;324,00[/tex3] , que seria o Preço à Vista do electrodoméstico sem juros, divido por 3 meses.

Espero que esta questão nº 10 tenha ficado agora um pouco mais clarificada.

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