Ensino Médio ⇒ Sistema lineares Tópico resolvido

[SWR]

Fessor, vi esta questão e, após algumas tentativas, não obtive qualquer êxito em resolve-la.

O sistema [tex3]\begin{cases}x^2 = 0\\
2x + y^3 = 0\\
z^2 + t^3 = 6yz\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}x^2 = 0\\
2x + y^3 = 0\\
z^2 + t^3 = 6yz\end{cases}[/tex3]

admite a solução [tex3](0, 0, z, t)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](0, 0, z, t)[/tex3]

. Então, para todo [tex3]\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha[/tex3]

(número qualquer) pertencente ao conjunto dos números reais (R), o sistema também admite a solução
a) [tex3](0,\,0,\,\alpha\cdot z,\,\alpha\cdot t)[/tex3]

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[tex3](0,\,0,\,\alpha\cdot z,\,\alpha\cdot t)[/tex3]

b) [tex3](0,\,0,\,\alpha^2\cdot z,\,\alpha^2\cdot t)[/tex3]

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[tex3](0,\,0,\,\alpha^2\cdot z,\,\alpha^2\cdot t)[/tex3]

c) [tex3](0,\,0,\,\alpha^2\cdot z,\,\alpha^3\cdot t)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](0,\,0,\,\alpha^2\cdot z,\,\alpha^3\cdot t)[/tex3]

d) [tex3](0,\,0,\,\alpha^3\cdot z,\,\alpha^2\cdot t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](0,\,0,\,\alpha^3\cdot z,\,\alpha^2\cdot t[/tex3]

e) [tex3](\alpha,\,\alpha,\,\alpha+z,\,\alpha+t)[/tex3]

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[tex3](\alpha,\,\alpha,\,\alpha+z,\,\alpha+t)[/tex3]

Se fosse um sistema homogêneo, bastaria calcular o determinate da matriz composta pelos coeficientes da variáveis do sistema impondo a condição de que ele seja nulo... Mas, como não é homogêneo, pela regra de Cramer, para que seja possível, o determinate não pode ser nulo...
Fiquei travado neste ponto da resolução: para que tenha várias soluções, fiz 6yz=0 para que ele seja homogêneo e anulei o determinante também, porém nada consegui...
Em mais alguma tentativa, calculei o determinate por Laplace e encontrei ZERO... Então, para que ele fosse indeterminado, a última equação deveria ser nula; assim t e z valem ZERO também... Dessa forma, imaginei que seria a alternativa E... Mas, não tenho certeza alguma...Poderia me dá uma luz... Não tenho gabarito...

[erihh3]

Seria interessante verificar se a questão está escrita de forma correta. Vou escrever pelo que deu para entender das opções. Ademais, não trata-se de um sistema linear.

[tex3]\begin{cases}
x^2 = 0 \\
2x + y^3 = 0\\
z^2 + t^3 = 6yz
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x^2 = 0 \\
2x + y^3 = 0\\
z^2 + t^3 = 6yz
\end{cases}[/tex3]

Das duas primeiras equações, tem-se que o conjunto solução deve possuir [tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

e [tex3] y=0[/tex3]

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[tex3] y=0[/tex3]

como solução. Desta forma, [tex3] (0, 0, z, t)[/tex3]

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[tex3] (0, 0, z, t)[/tex3]

é uma forma de escrever o conjunto solução analisando as duas primeiras equações.

Analisando a terceira, tem-se:
[tex3]z^2 + t^3 = 6yz[/tex3]

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[tex3]z^2 + t^3 = 6yz[/tex3]

[tex3]z^2 + t^3 =0[/tex3]

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[tex3]z^2 + t^3 =0[/tex3]

Seja [tex3]z=\alpha^3[/tex3]

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[tex3]z=\alpha^3[/tex3]

a solução genérica em [tex3]z[/tex3]

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[tex3]z[/tex3]

. Substituindo esse resultado na equação anterior, tem-se:

[tex3]\(\alpha^3\)^2 + t^3 =0[/tex3]

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[tex3]\(\alpha^3\)^2 + t^3 =0[/tex3]

[tex3]\alpha^6 + t^3 =0[/tex3]

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[tex3]\alpha^6 + t^3 =0[/tex3]

[tex3]-\alpha^6 = t^3 [/tex3]

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[tex3]-\alpha^6 = t^3 [/tex3]

Para t e z pertencente aos reais, tem-se:

[tex3]-\alpha^2 = t [/tex3]

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[tex3]-\alpha^2 = t [/tex3]

Dessa forma, o conjunto solução é [tex3](0,0, \alpha^3, -\alpha^2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](0,0, \alpha^3, -\alpha^2)[/tex3]

[SWR]

Olá, erihh3... Muitíssimo grato pela empatia em responder e cooperar... Esta questao é do terceiro Exame da Fuvest de 1977 (não achei o gabarito). Entendi que, na sua resposta você igualou a terceira equação a zero, considerando o sistema homogenio, certo...?! Fiz algo parecido com o que você fez, pois, ao calcular o determinante da matriz formada pelos coeficientes das variaveis do sistema, encontrei que ele vale zero, pela regra de Cramer...Então, a única forma de o sistema ter solucão é sendo homogênio; logo, t e z devem valer zero... O grande problema é que as alternativas não são compativeis com a resposta que encontrei...

[SWR]

Como podemos, a partir da sua resposta, encontrar a alternativa compatível...?!