IME / ITA ⇒ Geometria Analítica Tópico resolvido

[ASPIRANTE23]

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SE ALGUEM PUDER AJUDAR...

Resposta

---

D

Considere a curva de equação [tex3]Y=SENX^TAGN X[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Y=SENX^TAGN X[/tex3]

. A reta normal à curva que passa pelo ponto [tex3](PI/4, V2/2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](PI/4, V2/2)[/tex3]

e:

[petras]

ASPIRANTE23,


Ninguem vai ajudar dessa forma..Ttranscreva a questão abaixo da imagem pois você está desrespeitando a regra n.1 do forum. Por favor leia as mesmas antes de postar

[παθμ]

ASPIRANTE23,

[tex3]y=\sin(x)^{\tan(x)}=e^{\ln\left(\sin(x)^{\tan(x)}\right)}=e^{tan(x)\ln(\sin(x))}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\sin(x)^{\tan(x)}=e^{\ln\left(\sin(x)^{\tan(x)}\right)}=e^{tan(x)\ln(\sin(x))}.[/tex3]

Regra da cadeia: [tex3]\frac{dy}{dx}=e^{tan(x)\ln(\sin(x))} \cdot \frac{d}{dx}\left(\tan(x)\ln(\sin(x))\right).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dy}{dx}=e^{tan(x)\ln(\sin(x))} \cdot \frac{d}{dx}\left(\tan(x)\ln(\sin(x))\right).[/tex3]

Regra do produto: [tex3]\frac{d}{dx}\left(\tan(x)\ln(\sin(x))\right)=\frac{\ln(\sin(x))}{\cos^2(x)}+\tan(x) \frac{d}{dx}\ln(\sin(x))=\frac{\ln(\sin(x))}{\cos^2(x)}+\tan(x) \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{\ln(\sin(x))}{\cos^2(x)}+1.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{d}{dx}\left(\tan(x)\ln(\sin(x))\right)=\frac{\ln(\sin(x))}{\cos^2(x)}+\tan(x) \frac{d}{dx}\ln(\sin(x))=\frac{\ln(\sin(x))}{\cos^2(x)}+\tan(x) \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{\ln(\sin(x))}{\cos^2(x)}+1.[/tex3]

Então [tex3]\frac{dy}{dx}=y\left(\frac{\ln(\sin(x))}{\cos^2(x)}+1\right).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dy}{dx}=y\left(\frac{\ln(\sin(x))}{\cos^2(x)}+1\right).[/tex3]

No ponto [tex3]P=\left(\frac{\pi}{4}, \; \frac{\sqrt{2}}{2}\right):[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P=\left(\frac{\pi}{4}, \; \frac{\sqrt{2}}{2}\right):[/tex3]

[tex3]\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\ln(\sqrt{2}/2)}{1/2}+1\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\ln(2)\right).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\ln(\sqrt{2}/2)}{1/2}+1\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\ln(2)\right).[/tex3]

Esse é o coeficiente angular da reta tangente no ponto P. Para a reta normal, vamos querer o oposto do inverso, ou seja, [tex3]a=\frac{\sqrt{2}}{\ln(2)-1}=-\sqrt{2}\log_{e/2}(e).[/tex3]

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[tex3]a=\frac{\sqrt{2}}{\ln(2)-1}=-\sqrt{2}\log_{e/2}(e).[/tex3]

(onde foi usado 1=ln(e) e a mudança de base no logaritmo).

Determinando o coeficiente linear da reta: [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}=a \cdot \frac{\pi}{4}+b \Longrightarrow b=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\frac{\pi}{2}\log_{e/2}(e)\right).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}=a \cdot \frac{\pi}{4}+b \Longrightarrow b=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\frac{\pi}{2}\log_{e/2}(e)\right).[/tex3]

A equação da reta é [tex3]y=ax+b,[/tex3]

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[tex3]y=ax+b,[/tex3]

que após algumas manipulações simples fica [tex3]\boxed{-\sqrt{2}\log_{e/2}(e)x-y+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}\pi}{4}\log_{e/2}(e)=0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{-\sqrt{2}\log_{e/2}(e)x-y+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}\pi}{4}\log_{e/2}(e)=0}[/tex3]

Alternativa D

[ASPIRANTE23]

Esse é o coeficiente angular da reta tangente no ponto P. Para a reta normal, vamos querer o oposto do inverso, ou seja,
[tex3]a=\frac{\sqrt{2}}{\ln(2)-1}=-\sqrt{2}\log_{e/2}(e).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=\frac{\sqrt{2}}{\ln(2)-1}=-\sqrt{2}\log_{e/2}(e).[/tex3]

.

Boa tarde!
Consegui achar o coeficiente angular por esta linha de raciocínio, mas não consegui entender essa parte. Digo, como vc chegou a este resultado? [tex3]a=\frac{\sqrt{2}}{\ln(2)-1}=-\sqrt{2}\log_{e/2}(e).[/tex3]

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[tex3]a=\frac{\sqrt{2}}{\ln(2)-1}=-\sqrt{2}\log_{e/2}(e).[/tex3]

. Apliquei [tex3]an= -1/f(x)´[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]an= -1/f(x)´[/tex3]

, tentei manipular, mas não consegui. Se puder explicar essa parte agradeço!

[παθμ]

ASPIRANTE23,

[tex3]\ln(2)-1=\ln(2)-\ln(e)=\ln\left(\frac{2}{e}\right)=-\ln\left(\frac{e}{2}\right).[/tex3]

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[tex3]\ln(2)-1=\ln(2)-\ln(e)=\ln\left(\frac{2}{e}\right)=-\ln\left(\frac{e}{2}\right).[/tex3]

Mudança de base para e/2: [tex3]\ln(2)-1=-\frac{\log_{e/2}(e/2)}{\log_{e/2}(e)}=-\frac{1}{\log_{e/2}(e)}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ln(2)-1=-\frac{\log_{e/2}(e/2)}{\log_{e/2}(e)}=-\frac{1}{\log_{e/2}(e)}.[/tex3]

Então [tex3]\frac{\sqrt{2}}{\ln(2)-1}=-\sqrt{2}\log_{e/2}(e).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{2}}{\ln(2)-1}=-\sqrt{2}\log_{e/2}(e).[/tex3]