Ensino Médio ⇒ Saldo devedor Tópico resolvido

[Analisesousp]

Um funcionário é demitido, entra com processo na justiça contra a antiga empresa, e consegue um acordo com esta para pagamento de danos morais. o funcionário e a empresa acordam que mensalmente a empresa pagaria metade do saldo devedor mais uma quantia de r$ 1000. o valor total pago pela empresa a cada mês será deduzida do saldo devedor até que a empresa consiga honrar todo o débito. Assim, para que a empresa consiga liquidar todos os débito em 8 parcelas, o valor máximo do saldo devedor pode ser de:

A) 254 mil
B) 256mil
C) 510mil
D) 512mil

Gabarito: 510mil
Adaptado de Consulplan 2024

[Analisesousp]

Suponha que num mês n ainda deva x(n). Nesse mês, pagará metade disso, mais 1000, ou seja, vai quitar x(n)/2 + 1000, restando pagar x(n+1) tais que:
x(n+1) = x(n) - x(n)/2 - 1000 = x(n)/2 - 1000 <=> 2x(n+1) = x(n) - 2000.
Sabemos que o último mês de pagamento é 8 => x(9) = 0
=> 0 = x(8)/2 - 1000 <=> 0 = x(8) - 2000 => x(8) = 2000. Assim:
2x(2) = x(1) - 2000 --> 2x(2) = 1x(1) - 1(2000)
2x(3) = x(2) - 2000 --> 4x(3) = 2x(2) - 2(2000)
2x(4) = x(3) - 2000 --> 8x(4) = 4x(3) - 4(2000)
...
2x(7) = x(6) - 2000 --> 64x(7) = 32x(6) - 32(2000)
2x(8) = x(7) - 2000 --> 128x(8) = 64x(7) - 64(200)
Somando tudo, 128x(8) = x(1) - (2000)(1 + 2 + 4 + ... + 64)
Temos: S = 1 + 2 + 4 + ... + 64
=> 2S = 2 + 4 + 8 + ... + 64 + 128
=> S = 127 => x(1) = 128x(8) + 2000 . 127 = 2000(127 + 128) = 2000 . 255 = 510.000

Solução do Lipo_f