Determine a razão da PG (a1,a2,1,a4,a5) com soma S, sabendo que seus termos são positivos e que (a1 + a5) 5 / 2 = S + 6,5
alguém safa?
Ensino Médio ⇒ PG Tópico resolvido
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παθμ
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Abr 2024
21
12:46
Re: PG
Felpscsm, sendo [tex3]k[/tex3]
a razão da progressão, os termos são [tex3]\frac{1}{k^2}, \; \; \frac{1}{k}, \; \; 1, \; \; k, \; \; k^2.[/tex3]
[tex3]\frac{5(a_1+a_5)}{2}=S+\frac{13}{2} \Longrightarrow \frac{5}{2}\left(\frac{1}{k^2}+k^2\right)=\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}+1+k+k^2+\frac{13}{2}.[/tex3]
Para resolver essa equação, fazemos a substituição [tex3]x=k+\frac{1}{k},[/tex3] pois aí [tex3]x^2=k^2+\frac{1}{k^2}+2 \Longrightarrow k^2+\frac{1}{k^2}=x^2-2.[/tex3]
Substituindo isso na equação, ficamos com [tex3]3x^2-2x-21=0.[/tex3]
As soluções são [tex3]x=-\frac{7}{3}[/tex3] e [tex3]x=3.[/tex3] Como os termos da PG são positivos, a razão deve ser positiva, e portanto [tex3]k+\frac{1}{k}[/tex3] deve ser positivo, então só podemos ter [tex3]x=3.[/tex3]
[tex3]k+\frac{1}{k}=3 \Longrightarrow k^2-3k+1=0 \Longrightarrow \boxed{k=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}[/tex3] ou [tex3]\boxed{k=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}[/tex3]
[tex3]\frac{5(a_1+a_5)}{2}=S+\frac{13}{2} \Longrightarrow \frac{5}{2}\left(\frac{1}{k^2}+k^2\right)=\frac{1}{k^2}+\frac{1}{k}+1+k+k^2+\frac{13}{2}.[/tex3]
Para resolver essa equação, fazemos a substituição [tex3]x=k+\frac{1}{k},[/tex3] pois aí [tex3]x^2=k^2+\frac{1}{k^2}+2 \Longrightarrow k^2+\frac{1}{k^2}=x^2-2.[/tex3]
Substituindo isso na equação, ficamos com [tex3]3x^2-2x-21=0.[/tex3]
As soluções são [tex3]x=-\frac{7}{3}[/tex3] e [tex3]x=3.[/tex3] Como os termos da PG são positivos, a razão deve ser positiva, e portanto [tex3]k+\frac{1}{k}[/tex3] deve ser positivo, então só podemos ter [tex3]x=3.[/tex3]
[tex3]k+\frac{1}{k}=3 \Longrightarrow k^2-3k+1=0 \Longrightarrow \boxed{k=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}[/tex3] ou [tex3]\boxed{k=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}[/tex3]