Ensino Médio ⇒ Geometria analítica Tópico resolvido

[Caduzin3445]

Determine a equação da circunferência de
raio 5 que tangencia a circunferência x² + y² - 2x
- 4y - 20 = 0 no ponto (5. 5).





Gab:x² + y²- I8x- 16y + 120 = 0

[παθμ]

Caduzin3445,

[tex3]x^2+y^2-2x-4y-20=0 \Longrightarrow (x-1)^2+y^2-4y-21=0 \Longrightarrow (x-1)^2+y^2-4y+4=25 \Longrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=5^2.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+y^2-2x-4y-20=0 \Longrightarrow (x-1)^2+y^2-4y-21=0 \Longrightarrow (x-1)^2+y^2-4y+4=25 \Longrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=5^2.[/tex3]

Então o centro da circunferência dada (chame-a de λ) é o ponto (1, 2), e ela tem raio 5.

A circunferência que tangencia λ (chame-a de α) deve estar a uma distância de [tex3]5+5=10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5+5=10[/tex3]

do centro de λ (é a soma dos raios). Para que ela seja tangente no ponto (5, 5), queremos que o centro de λ, α e o ponto (5, 5) sejam colineares.

Para ir de (1, 2) ao ponto (5, 5), avançamos 4 unidades em x e 3 unidades em y, tendo tido um deslocamento de 5 unidades. Daí, se andamos mais 5 unidades ao longo da mesma reta, avançamos 4 unidades em x e 3 unidades em y novamente, e após isso chegamos no centro de α. Ou seja, o centro de α é o ponto (9, 8 ).

[tex3](x-9)^2+(y-8)^2=25 \Longrightarrow \boxed{x^2-18x+y^2-16y+120=0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-9)^2+(y-8)^2=25 \Longrightarrow \boxed{x^2-18x+y^2-16y+120=0}[/tex3]