IME/ITA ⇒ Experimento de Young Tópico resolvido

[ASPIRANTE23]

Em um experimento de Young, uma frente coerente de radiação eletromagnética cujo comprimento de onda é 𝜆 se difrata por uma primeira fenda e depois passa por um segundo anteparo composto por duas fendas separadas por uma distância igual a 𝑑, gerando duas fontes coerentes. Um terceiro anteparo se encontra a uma distância L. Imediatamente à frente da fenda inferior existe um material de espessura 𝑒 e índice de refração 𝑛. Calcule a distância entre o quinto mínimo da parte superior e o ponto central do anteparo.

Resposta

---

L/d(e/n + 4,5lamida)

Se alguem puder ajudar...

[παθμ]

ASPIRANTE23, na aproximação [tex3]L \gg d,[/tex3]

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[tex3]L \gg d,[/tex3]

os dois raios de luz que chegam em cada ponto do anteparo são aproximadamente paralelos. Seja [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

o ângulo que cada um faz com a horizontal. Além disso, usaremos também a aproximação de ângulos pequenos (em problemas de fendas de Young, essas aproximações quase sempre são válidas).

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A diferença que o material faz é que o raio inferior ganha uma fase adicional. Enquanto ele passa pelo material, ele tem um comprimento de onda [tex3]\lambda '=\frac{\lambda}{n},[/tex3]

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[tex3]\lambda '=\frac{\lambda}{n},[/tex3]

daí que a variação de fase que ele sofre ao passar pelo material é [tex3]\frac{2\pi n e}{\lambda}[/tex3]

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[tex3]\frac{2\pi n e}{\lambda}[/tex3]

(usando a aproximação de [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

pequeno, ou seja, raio próximo da horizontal, para facilitar a conta). Se o material não estivesse lá, a variação de fase no mesmo percurso seria [tex3]\frac{2\pi e}{\lambda}.[/tex3]

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[tex3]\frac{2\pi e}{\lambda}.[/tex3]

Então, graças ao material, o raio de baixo ganha uma fase extra [tex3]\frac{2\pi (n-1)e}{\lambda}.[/tex3]

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[tex3]\frac{2\pi (n-1)e}{\lambda}.[/tex3]

E veja que a diferença de caminho [tex3]\delta[/tex3]

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[tex3]\delta[/tex3]

entre os dois raios satisfaz [tex3]\sin(\theta)=\frac{\delta}{d} \Longrightarrow \delta =d\sin(\theta).[/tex3]

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[tex3]\sin(\theta)=\frac{\delta}{d} \Longrightarrow \delta =d\sin(\theta).[/tex3]

Então a diferença de fase entre os dois raios é [tex3]\Delta \phi=\frac{2\pi \delta}{\lambda} +\frac{2\pi (n-1)e}{\lambda}=\frac{2\pi}{\lambda}\left(d\sin(\theta)+(n-1)e\right).[/tex3]

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[tex3]\Delta \phi=\frac{2\pi \delta}{\lambda} +\frac{2\pi (n-1)e}{\lambda}=\frac{2\pi}{\lambda}\left(d\sin(\theta)+(n-1)e\right).[/tex3]

A distância do ponto de encontro dos raios ao centro do anteparo é [tex3]y=L \tan(\theta),[/tex3]

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[tex3]y=L \tan(\theta),[/tex3]

e para ângulos pequenos temos [tex3]\sin(\theta) \approx \tan(\theta),[/tex3]

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[tex3]\sin(\theta) \approx \tan(\theta),[/tex3]

daí podemos escrever [tex3]\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda}\left(\frac{dy}{L}+(n-1)e\right).[/tex3]

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[tex3]\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda}\left(\frac{dy}{L}+(n-1)e\right).[/tex3]

A n-ésima interferência destrutiva ocorre para [tex3]\Delta \phi=(2n-1)\pi,[/tex3]

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[tex3]\Delta \phi=(2n-1)\pi,[/tex3]

então queremos [tex3]\Delta \phi=9\pi.[/tex3]

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[tex3]\Delta \phi=9\pi.[/tex3]

[tex3]\frac{2\pi}{\lambda}\left(\frac{dy}{L}+(n-1)e\right)=9\pi \Longrightarrow \boxed{y=\frac{L}{d}\left(4,5\lambda-(n-1)e\right)}[/tex3]

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[tex3]\frac{2\pi}{\lambda}\left(\frac{dy}{L}+(n-1)e\right)=9\pi \Longrightarrow \boxed{y=\frac{L}{d}\left(4,5\lambda-(n-1)e\right)}[/tex3]

Seu gabarito está claramente errado. Para n=1, por exemplo, o material não deveria fazer diferença alguma, ou seja, a resposta não deveria depender de [tex3]e,[/tex3]

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[tex3]e,[/tex3]

e o gabarito não satisfaz esse caso limite.