Ensino Médio ⇒ Produto dos senos de 1º,2º,...,89º

[FelipeMartin]

Sabemos daqui que:

[tex3]\prod_{i=1}^{179} \sen (\frac{i\pi}{180}) = \frac{180}{2^{179}}[/tex3]

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[tex3]\prod_{i=1}^{179} \sen (\frac{i\pi}{180}) = \frac{180}{2^{179}}[/tex3]

e que [tex3]1^{\circ} = \frac{\pi}{180} [/tex3]

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[tex3]1^{\circ} = \frac{\pi}{180} [/tex3]

, então:

[tex3]\prod_{i=1}^{179} \sen (i^{\circ}) = \frac{180}{2^{179}}[/tex3]

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[tex3]\prod_{i=1}^{179} \sen (i^{\circ}) = \frac{180}{2^{179}}[/tex3]

Mas [tex3]\sen (180^{\circ} -i^{\circ}) = \sen (i^{\circ})[/tex3]

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[tex3]\sen (180^{\circ} -i^{\circ}) = \sen (i^{\circ})[/tex3]

Logo:

[tex3]\prod_{i=1}^{179} \sen (i^{\circ}) = \sen (90^{\circ}) (\prod_{i=1}^{89} \sen (i^{\circ}))^2 = \frac{180}{2^{179}} [/tex3]

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[tex3]\prod_{i=1}^{179} \sen (i^{\circ}) = \sen (90^{\circ}) (\prod_{i=1}^{89} \sen (i^{\circ}))^2 = \frac{180}{2^{179}} [/tex3]

donde
[tex3]\prod_{i=1}^{89} \sen (i^{\circ}) = \frac{3 \sqrt{10}}{2^{89}}[/tex3]

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[tex3]\prod_{i=1}^{89} \sen (i^{\circ}) = \frac{3 \sqrt{10}}{2^{89}}[/tex3]

Podemos também pegar só os números pares ou os números ímpares desse intervalo.

O produto dos ímpares (1,3,5,...,89) já foi respondido em outro tópico pelo ittalo25, vale [tex3]E = \frac{\sqrt 2}{2^{45}}[/tex3]

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[tex3]E = \frac{\sqrt 2}{2^{45}}[/tex3]

.

O produto dos pares portanto é: [tex3]\frac{3\sqrt5}{2^{44}}[/tex3]

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[tex3]\frac{3\sqrt5}{2^{44}}[/tex3]