Ensino Superior ⇒ Estruturas Algébricas 1

[Idocrase]

Sejam [tex3]G[/tex3] um grupo e [tex3]G'=\left \{ xyx^{-1}y^{-1};x,y\in G \right \}[/tex3], então [tex3]G'[/tex3] é um subgrupo normal de [tex3]G[/tex3]?

Para mostrar que é um subgrupo normal de [tex3]G[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]G[/tex3]

eu sei que devemos mostrar que para todo [tex3]g\in G[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g\in G[/tex3]

, temos que [tex3]g(xyx^{-1}y^{-1})g^{-1}=xyx^{-1}y^{-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(xyx^{-1}y^{-1})g^{-1}=xyx^{-1}y^{-1}[/tex3]

. Mas como mostrar isso? Eu não sei se posso trocar as letrinhas de posições porque nada garante que G seja abeliano.