Física I ⇒ (SOIF 2016) Dinâmica da rotação Tópico resolvido

[παθμ]

Uma barra fina e homogênea de comprimento [tex3]l[/tex3]

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[tex3]l[/tex3]

e massa [tex3]m,[/tex3]

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[tex3]m,[/tex3]

que pode girar livremente em torno do eixo horizontal através da sua extremidade, encontra-se em repouso a um ângulo [tex3]\theta_0[/tex3]

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[tex3]\theta_0[/tex3]

em relação ao eixo vertical [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

(vide figura abaixo). A um certo instante a barra é solta e inicia-se um movimento de rotação. Determine:

a) Equação de movimento da barra.

b) Velocidade angular [tex3]\omega[/tex3]

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[tex3]\omega[/tex3]

da barra.

c) Aceleração angular [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

da barra

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[παθμ]

Solução:

a) O momento de inércia da barra em relação à articulação é [tex3]I=\frac{ml^2}{3},[/tex3]

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[tex3]I=\frac{ml^2}{3},[/tex3]

e o torque é [tex3] \tau =mg \sin(\theta) \cdot \frac{l}{2}.[/tex3]

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[tex3] \tau =mg \sin(\theta) \cdot \frac{l}{2}.[/tex3]

[tex3]\tau = I \ddot{\theta} \Longrightarrow \boxed{\ddot{\theta}=\frac{3g \sin(\theta)}{2l}}[/tex3]

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[tex3]\tau = I \ddot{\theta} \Longrightarrow \boxed{\ddot{\theta}=\frac{3g \sin(\theta)}{2l}}[/tex3]

Essa é a equação de movimento.

b) [tex3]\ddot{\theta}=\frac{d \omega}{dt}=\frac{d \omega}{d \theta} \frac{ d \theta }{d t}= \omega \frac{d \omega}{d \theta}.[/tex3]

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[tex3]\ddot{\theta}=\frac{d \omega}{dt}=\frac{d \omega}{d \theta} \frac{ d \theta }{d t}= \omega \frac{d \omega}{d \theta}.[/tex3]

Então [tex3] \omega \frac{d \omega}{d\theta} = \frac{3g \sin(\theta)}{2l} \Longrightarrow \int_{0}^{\omega} \omega \; d \omega = \frac{3g}{2l} \int_{\theta_0}^{\theta} \sin(\theta) \; d\theta \Longrightarrow \boxed{\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}\left(\cos(\theta_0)-\cos(\theta)\right)}} [/tex3]

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[tex3] \omega \frac{d \omega}{d\theta} = \frac{3g \sin(\theta)}{2l} \Longrightarrow \int_{0}^{\omega} \omega \; d \omega = \frac{3g}{2l} \int_{\theta_0}^{\theta} \sin(\theta) \; d\theta \Longrightarrow \boxed{\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}\left(\cos(\theta_0)-\cos(\theta)\right)}} [/tex3]

c) A aceleração angular [tex3]\alpha = \ddot{\theta} [/tex3]

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[tex3]\alpha = \ddot{\theta} [/tex3]

já foi encontrada no item A (as provas da SOIF eram mal-feitas nessa época).