Ensino Superior ⇒ Introdução às séries infinitas Tópico resolvido

[DudaS]

Mostre que a derivação da série de potências de sen(x) dá a série de potências de cos(x).

Boa tarde pessoal, uma dúvida, se eu apenas derivar termo a termo da série de potências de sen(x) eu não estaria provando, certo? Pois essa propriedade das derivadas é provada apenas para um número finitos de termos né? Gostaria de saber como eu deveria proceder então para realmente provar. Eu acabei de começar esse assunto, então ainda não vi muita coisa. Agradeço a ajuda!

[FelipeMartin]

Assumindo que você sabe da existência e da definição da série de Taylor-McLaurin, basta calcular a ené-sima derivada da função seno em [tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

:

[tex3]f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2f''(0)}2 +... + \frac{x^nf^{(n)}(0)}{n!} + ...[/tex3]

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[tex3]f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2f''(0)}2 +... + \frac{x^nf^{(n)}(0)}{n!} + ...[/tex3]

[tex3]f(0) = \sen (x) _{x=0} = \sen (0) =0[/tex3]

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[tex3]f(0) = \sen (x) _{x=0} = \sen (0) =0[/tex3]

[tex3]f'(0) = \cos(x)_{x=0} = \cos(0) = 1[/tex3]

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[tex3]f'(0) = \cos(x)_{x=0} = \cos(0) = 1[/tex3]

[tex3]f''(0) = -\sen(x)_{x=0} = -\sen (0) = 0[/tex3]

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[tex3]f''(0) = -\sen(x)_{x=0} = -\sen (0) = 0[/tex3]

[tex3]f'''(0) = -\cos(x)_{x=0} = -\cos(0) = -1[/tex3]

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[tex3]f'''(0) = -\cos(x)_{x=0} = -\cos(0) = -1[/tex3]

[tex3]f''''(0) = \sen(x)_{x=0} = \sen (0) = 0[/tex3]

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[tex3]f''''(0) = \sen(x)_{x=0} = \sen (0) = 0[/tex3]

temos uma repetição a partir daqui. Todas as derivadas [tex3]f^{n}(0)[/tex3]

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[tex3]f^{n}(0)[/tex3]

serão zero quando [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

for par e serão [tex3](-1)^{\frac {n-1}2 }[/tex3]

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[tex3](-1)^{\frac {n-1}2 }[/tex3]

quando [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

for ímpar.

[tex3]\sen(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex3]

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[tex3]\sen(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex3]