Pré-Vestibular ⇒ (UnB-DF) Números Complexos Tópico resolvido

[SBAN]

Considerando os números complexos [tex3]W=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}[/tex3]

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[tex3]W=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}[/tex3]

e [tex3]U=W^4[/tex3]

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[tex3]U=W^4[/tex3]

, julgue os itens seguintes.

1)[tex3]W^{-1}=Cos\left(\frac{\pi }{6}\right)-iSen\left(\frac{\pi}{6}\right)[/tex3]

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[tex3]W^{-1}=Cos\left(\frac{\pi }{6}\right)-iSen\left(\frac{\pi}{6}\right)[/tex3]

2) [tex3]1+W+W^2+W^3+W^4+W^5=\frac{2}{(1-W)}[/tex3]

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[tex3]1+W+W^2+W^3+W^4+W^5=\frac{2}{(1-W)}[/tex3]

3)[tex3]1+\frac{U}{2}+\frac{U^2}{4}[/tex3]

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[tex3]1+\frac{U}{2}+\frac{U^2}{4}[/tex3]

pertence ao conjunto [tex3][z \in Complexos : |z|\leq 1][/tex3]

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[tex3][z \in Complexos : |z|\leq 1][/tex3]

4) Os npumeros complexos [tex3]X+Yi[/tex3]

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[tex3]X+Yi[/tex3]

para os quais o produto [tex3](X+Yi)W[/tex3]

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[tex3](X+Yi)W[/tex3]

é imagiário puro estão localizados sobre um círculo de centro na origem.

Resposta

---

V,V,V,F

[παθμ]

SBAN,

1) [tex3]\cos(\pi/6)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]\cos(\pi/6)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

e [tex3]\sin(\pi/6)=\frac{1}{2},[/tex3]

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[tex3]\sin(\pi/6)=\frac{1}{2},[/tex3]

então [tex3]w=\cis(\pi/6) \Longrightarrow w^{-1}=\cis(-\pi/6)=\cos(-\pi/6)+i\sin(-\pi/6)=\cos(\pi/6)-i\sin(\pi/6).[/tex3]

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[tex3]w=\cis(\pi/6) \Longrightarrow w^{-1}=\cis(-\pi/6)=\cos(-\pi/6)+i\sin(-\pi/6)=\cos(\pi/6)-i\sin(\pi/6).[/tex3]

Alternativa correta.

2) Pela fórmula do somatório de PG, a soma em questão é [tex3]\frac{w^6-1}{w-1}.[/tex3]

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[tex3]\frac{w^6-1}{w-1}.[/tex3]

Temos [tex3]w=\cis(\pi/6) \Longrightarrow w^6=\cis(\pi)=-1,[/tex3]

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[tex3]w=\cis(\pi/6) \Longrightarrow w^6=\cis(\pi)=-1,[/tex3]

então a soma é:

[tex3]\frac{-2}{w-1}=\frac{2}{1-w}.[/tex3]

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[tex3]\frac{-2}{w-1}=\frac{2}{1-w}.[/tex3]

Alternativa correta.

3) Seja [tex3]S=1+\frac{U}{2}+\frac{U^2}{4}.[/tex3]

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[tex3]S=1+\frac{U}{2}+\frac{U^2}{4}.[/tex3]

Novamente pela fórmula do somatório de PG, temos [tex3]S=\frac{\left(\frac{U}{2}\right)^3-1}{\frac{U}{2}-1}=\frac{\frac{U^3}{8}-1}{\frac{U}{2}-1}.[/tex3]

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[tex3]S=\frac{\left(\frac{U}{2}\right)^3-1}{\frac{U}{2}-1}=\frac{\frac{U^3}{8}-1}{\frac{U}{2}-1}.[/tex3]

Temos [tex3]U=w^4=\cis(4\pi/6)=\cis(2\pi/3) \Longrightarrow U^3=\cis(2\pi)=1,[/tex3]

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[tex3]U=w^4=\cis(4\pi/6)=\cis(2\pi/3) \Longrightarrow U^3=\cis(2\pi)=1,[/tex3]

então:

[tex3]S=\frac{-7/8}{\frac{U}{2}-1} \Longrightarrow |S|=\frac{7/8}{\left|\frac{U}{2}-1\right|}.[/tex3]

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[tex3]S=\frac{-7/8}{\frac{U}{2}-1} \Longrightarrow |S|=\frac{7/8}{\left|\frac{U}{2}-1\right|}.[/tex3]

Temos [tex3]U=\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \Longrightarrow \frac{U}{2}-1=\frac{-5+\sqrt{3}i}{4} \Longrightarrow \left|\frac{U}{2}-1\right|=\frac{\sqrt{25+3}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{2}.[/tex3]

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[tex3]U=\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \Longrightarrow \frac{U}{2}-1=\frac{-5+\sqrt{3}i}{4} \Longrightarrow \left|\frac{U}{2}-1\right|=\frac{\sqrt{25+3}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{2}.[/tex3]

Então: [tex3]|S|=\frac{7/8}{\sqrt{7}/2}.[/tex3]

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[tex3]|S|=\frac{7/8}{\sqrt{7}/2}.[/tex3]

Como [tex3]\frac{7}{8}<1[/tex3]

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[tex3]\frac{7}{8}<1[/tex3]

e [tex3]\frac{\sqrt{7}}{2}>1,[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{7}}{2}>1,[/tex3]

já podemos notar que [tex3]|S|<1,[/tex3]

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[tex3]|S|<1,[/tex3]

o que faz ele satisfazer a condição [tex3]|S| \leq 1.[/tex3]

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[tex3]|S| \leq 1.[/tex3]

Alternativa correta.

4) Seja [tex3]z=x+yi.[/tex3]

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[tex3]z=x+yi.[/tex3]

Para [tex3]zw[/tex3]

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[tex3]zw[/tex3]

resultar em um imaginário puro, queremos que ele esteja na reta vertical que passa pela origem, logo devemos ter [tex3]zw=\rho \cis(n\pi/2),[/tex3]

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[tex3]zw=\rho \cis(n\pi/2),[/tex3]

com n=1, 3, 5, ... e também devemos ter[tex3]\rho >0.[/tex3]

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[tex3]\rho >0.[/tex3]

Ou seja: [tex3]\cis(\pi/6)z=\rho \cis(n\pi/2) \Longrightarrow z=\rho \frac{\cis(n\pi/2)}{\cis(\pi/6)}=\rho \cis\left(\frac{\pi}{2}\left(n-\frac{1}{3}\right)\right).[/tex3]

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[tex3]\cis(\pi/6)z=\rho \cis(n\pi/2) \Longrightarrow z=\rho \frac{\cis(n\pi/2)}{\cis(\pi/6)}=\rho \cis\left(\frac{\pi}{2}\left(n-\frac{1}{3}\right)\right).[/tex3]

Isso não é a equação de uma circunferência centrada na origem. O L.G. de uma circunferência centrada na origem seria uma condição [tex3]z=\rho,[/tex3]

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[tex3]z=\rho,[/tex3]

com [tex3]\rho>0[/tex3]

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[tex3]\rho>0[/tex3]

fixo. Alternativa incorreta.

SBAN, nessas questões com várias afirmativas, lembre-se de sempre dizer quais são os itens nos quais você tem dúvida. Ajude os outros a te ajudarem.