Estou com dificuldade com uma questão da lista de matemática discreta da faculdade. Faço ciência da computação.
Eu não consigo entender de jeito maneiro como se faz o raciocínio dessa questão.
Obrigado desde já!
Enunciado:
Para cada inteiro positivo n, sejam A(n) e B(n) dois números
inteiros formados por 2n algarismos iguais a 1 e n algarismos iguais a 2
respectivamente. Mostre que A(n)-B(n) é um quadrado perfeito.
Ensino Superior ⇒ Álgebra, Teoria dos Números e Propriedades dos Números Inteiros. Tópico resolvido
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Ago 2023
22
18:19
Re: Álgebra, Teoria dos Números e Propriedades dos Números Inteiros.
Ornitologo, uma possível solução:
Veja que [tex3]A(n)=1+10^1+10^2+...+10^{2n-1}=\frac{10^{2n}-1}{9}[/tex3] , pela fórmula do somatório de P.G.
Ademais, [tex3]B(n)=2(1+10^1+10^2+...+10^{n-1})=2 \times \frac{10^n-1}{9}[/tex3] .
Então: [tex3]A(n)-B(n)=\frac{10^{2n}-2 \times 10^n+1}{9}=\left(\frac{10^n-1}{3}\right)^2[/tex3] .
Veja que a divisibilidade de [tex3]10^n-1[/tex3] por [tex3]3[/tex3] é garantida, pois [tex3]10^n-1[/tex3] é um número formado por algarismos nove.
Logo, [tex3]A(n)-B(n)[/tex3] é o quadrado de um número inteiro, C.Q.D
Veja que [tex3]A(n)=1+10^1+10^2+...+10^{2n-1}=\frac{10^{2n}-1}{9}[/tex3] , pela fórmula do somatório de P.G.
Ademais, [tex3]B(n)=2(1+10^1+10^2+...+10^{n-1})=2 \times \frac{10^n-1}{9}[/tex3] .
Então: [tex3]A(n)-B(n)=\frac{10^{2n}-2 \times 10^n+1}{9}=\left(\frac{10^n-1}{3}\right)^2[/tex3] .
Veja que a divisibilidade de [tex3]10^n-1[/tex3] por [tex3]3[/tex3] é garantida, pois [tex3]10^n-1[/tex3] é um número formado por algarismos nove.
Logo, [tex3]A(n)-B(n)[/tex3] é o quadrado de um número inteiro, C.Q.D
- Ornitologo
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Ago 2023
22
20:55
Re: Álgebra, Teoria dos Números e Propriedades dos Números Inteiros.
Ah! Entendi, muito obrigado.
Eu fiquei sem saber para onde ir quando vi essa questão, o método de resolução dela não é nem um pouco imediato para mim.
Eu fiquei sem saber para onde ir quando vi essa questão, o método de resolução dela não é nem um pouco imediato para mim.
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