Física II ⇒ Momento de inercia Tópico resolvido

[masiero]

Uma barra de ferro de 1,20 m é equilibrada
em pé. Como este equilíbrio é instável, ela começa a cair.
(a) Com que velocidade o centro de
massa atingirá o solo?
(b) Encontre a equação
de movimento (segunda lei de Newton) para o
ângulo da barra com a vertical, ou seja, como
a aceleração angular da barra depende do ângulo com a vertical.

Pensei em considerar Epg = Ec , sendo Ec = (Iw^2)/2, mas não cheguei em nada conclusivo.
Agradeço quem puder me ajudar

[παθμ]

masiero, vamos considerar a barra como rígida e homogênea. O momento de inércia de tal barra em relação a uma de suas extremidades é [tex3]I=\frac{ml^2}{3}[/tex3]

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[tex3]I=\frac{ml^2}{3}[/tex3]

, onde [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

é sua massa e [tex3]l[/tex3]

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[tex3]l[/tex3]

é seu comprimento.

a) Inicialmente, seu CM está a uma altura [tex3]l/2[/tex3]

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[tex3]l/2[/tex3]

, e portanto sua energia potencial é [tex3]\frac{mgl}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{mgl}{2}[/tex3]

. Toda essa energia se converte em energia cinética:

[tex3]\frac{I \omega^2}{2}=\frac{mgl}{2} \Longrightarrow \omega=\sqrt{\frac{3g}{l}}[/tex3]

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[tex3]\frac{I \omega^2}{2}=\frac{mgl}{2} \Longrightarrow \omega=\sqrt{\frac{3g}{l}}[/tex3]

A velocidade do CM é [tex3]v= \omega \times \frac{l}{2} \approx \boxed{2,97m/s}[/tex3]

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[tex3]v= \omega \times \frac{l}{2} \approx \boxed{2,97m/s}[/tex3]

.

b) Seja [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

o ângulo que a barra forma com a vertical em um dado instante. Veja torque do peso em relação ao eixo de rotação é [tex3]\tau =mg \times \frac{l}{2} \sin(\theta)[/tex3]

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[tex3]\tau =mg \times \frac{l}{2} \sin(\theta)[/tex3]

.

[tex3]\tau= I \alpha \Longrightarrow \frac{mgl \sin(\theta)}{2}=\frac{ml^2}{3} \ddot{\theta}[/tex3]

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[tex3]\tau= I \alpha \Longrightarrow \frac{mgl \sin(\theta)}{2}=\frac{ml^2}{3} \ddot{\theta}[/tex3]

A equação de movimento pedida é, então:

[tex3]\boxed{\ddot{\theta}=\frac{3g \sin(\theta)}{2l}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\ddot{\theta}=\frac{3g \sin(\theta)}{2l}}[/tex3]

[παθμ]

masiero, parando pra pensar mais um pouco, essa questão deveria ter um pouco mais de detalhes para eu ter certeza do que ela quer que você faça. Quando eu li a sua pergunta, eu assumi logo a hipótese mais simples, que é a barra ficar o tempo todo girando em torno da sua extremidade em contato com o solo, esta última nunca perdendo contato com o solo. Porém, na realidade, para isso acontecer, a barra na verdade precisaria estar articulada no solo, pois, se ela estivesse simplesmente apoiada no solo (considerando também um solo com coeficiente de atrito infinito, por falta de informação), haveria um ângulo no qual a extremidade perderia o contato. Ademais, também é possível interpretar que a barra está sobre um chão completamente isento de atrito e não está articulada em nada. Nesse caso, o CM da barra realiza um movimento vertical até atingir o solo. Eu consigo fazer uma resolução da questão para qualquer uma dessas outras duas hipóteses, mas fica significativamente mais demorado, e por isso eu não queria enviar sem ter necessidade. Se você tiver gabarito para a questão e as minhas respostas não tiverem batido, pode me falar.

[masiero]

masiero, parando pra pensar mais um pouco, essa questão deveria ter um pouco mais de detalhes para eu ter certeza do que ela quer que você faça. Quando eu li a sua pergunta, eu assumi logo a hipótese mais simples, que é a barra ficar o tempo todo girando em torno da sua extremidade em contato com o solo, esta última nunca perdendo contato com o solo. Porém, na realidade, para isso acontecer, a barra na verdade precisaria estar articulada no solo, pois, se ela estivesse simplesmente apoiada no solo (considerando também um solo com coeficiente de atrito infinito, por falta de informação), haveria um ângulo no qual a extremidade perderia o contato. Ademais, também é possível interpretar que a barra está sobre um chão completamente isento de atrito e não está articulada em nada. Nesse caso, o CM da barra realiza um movimento vertical até atingir o solo. Eu consigo fazer uma resolução da questão para qualquer uma dessas outras duas hipóteses, mas fica significativamente mais demorado, e por isso eu não queria enviar sem ter necessidade. Se você tiver gabarito para a questão e as minhas respostas não tiverem batido, pode me falar.

Agradeço pela resposta!! Meu professor fez essa lista e não disponibilizou gabarito nem resolução. Acredito que a primeira resolução é a correta, que condiz com os conteúdos que ele passou nessa aula. Obrigado novamente