Encontre todas as funções [tex3]f : \mathbb{R} → \mathbb{R}[/tex3]
tais que [tex3]f(1) = 1[/tex3]
e, para todos [tex3]x, y ∈ R[/tex3]
,
tenhamos
(a) [tex3]f(x + y) = f(x) + f(y)[/tex3]
(b) [tex3]f(xy) = f(x)f(y)[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Funções Implícitas
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FelipeMartin
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Jan 2023
09
20:51
Re: Funções Implícitas
[tex3]f : \mathbb{R} → \mathbb{R}[/tex3]
Você pode mostrar que [tex3]f(x) =x[/tex3] para [tex3]x[/tex3] racional. Como feito aqui: viewtopic.php?t=72577
Para [tex3]x[/tex3] real (irracional), creio que haja infinitas soluções. Pois pode-se definir qualquer valor para [tex3]x = \sqrt 2[/tex3] por exemplo.
A letra b é mais chata. Será que dá pra provar que [tex3]x>0 \implies f(x) > 0[/tex3] ? Se der, você poderia fazer [tex3]g(x) = \log (f(2^x))[/tex3] e cair na equação de Cauchy. Mas [tex3]f(2^x)[/tex3] deve ser positiva.
Bom se [tex3]x >0[/tex3] , então, [tex3]x = ( \sqrt{x} )^2[/tex3] e dai [tex3]f(x) = (f(\sqrt{x}))^2 > 0[/tex3] , então, para [tex3]x>0[/tex3] , você pode ver que [tex3]g(x+y) = g(x) + g(y)[/tex3] e cai num caso semelhante ao de cima. Creio que haja infinitas soluções.
Você pode mostrar que [tex3]f(x) =x[/tex3] para [tex3]x[/tex3] racional. Como feito aqui: viewtopic.php?t=72577
Para [tex3]x[/tex3] real (irracional), creio que haja infinitas soluções. Pois pode-se definir qualquer valor para [tex3]x = \sqrt 2[/tex3] por exemplo.
A letra b é mais chata. Será que dá pra provar que [tex3]x>0 \implies f(x) > 0[/tex3] ? Se der, você poderia fazer [tex3]g(x) = \log (f(2^x))[/tex3] e cair na equação de Cauchy. Mas [tex3]f(2^x)[/tex3] deve ser positiva.
Bom se [tex3]x >0[/tex3] , então, [tex3]x = ( \sqrt{x} )^2[/tex3] e dai [tex3]f(x) = (f(\sqrt{x}))^2 > 0[/tex3] , então, para [tex3]x>0[/tex3] , você pode ver que [tex3]g(x+y) = g(x) + g(y)[/tex3] e cai num caso semelhante ao de cima. Creio que haja infinitas soluções.
Editado pela última vez por FelipeMartin em 09 Jan 2023, 20:53, em um total de 1 vez.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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