De forma equivalente, dado um [tex3]\triangle ABC[/tex3] cujo incírculo seja [tex3]\omega[/tex3] e [tex3]D = \omega \cap BC, E = \omega \cap AC[/tex3] e [tex3]F = \omega \cap AB[/tex3] , os círculos de Soddy do [tex3]\triangle ABC[/tex3] são os dois círculos simultaneamente tangentes a [tex3]\gamma_A = \odot (A,AF),\gamma_B = \odot (B,BD)[/tex3] e [tex3]\gamma_C = \odot (C,CE)[/tex3] .
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Seja [tex3]L = ED \cap AB[/tex3] e sejam [tex3]\{Z_1,Z_2\} = \odot (L,LF) \cap \gamma_C[/tex3] .
Sendo [tex3]o_1 = AX_1 \cap CZ_1[/tex3] , o primeiro círculo de Soddy é [tex3]S_1 = \odot(o_1,o_1X_1)[/tex3]
Sendo [tex3]o_2 = AX_2 \cap CZ_2[/tex3] , o segundo círculo de Soddy é [tex3]S_2 = \odot(o_2,o_2X_2)[/tex3]
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Veja porém que o [tex3]\triangle Bo_1C[/tex3] é tal que seu incírculo tangencia necessariamente os lados [tex3]o_1C[/tex3] em [tex3]Z_1[/tex3] , [tex3]o_1B[/tex3] em [tex3]Y_1 = S_1 \cap \gamma_B[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] em [tex3]D[/tex3] . Analogamente, podemos usar o ponto de Gergonne do [tex3]\triangle Bo_1C[/tex3] para inferir que a reta [tex3]Z_1Y_1[/tex3] passa por [tex3]K[/tex3] , o conjugado harmônico de [tex3]D[/tex3] em relação a [tex3]BC[/tex3] , como feito acima.
Por fim: veja que o círculo [tex3]\Omega_A = \odot (K,KD)[/tex3] é ortogonal ao incírculo [tex3]\omega[/tex3] do [tex3]\triangle ABC[/tex3] pois seu centro [tex3]K[/tex3] está sobre a reta tangente a [tex3]\omega[/tex3] em [tex3]D[/tex3] . Como [tex3]K \in EF[/tex3] e [tex3]EF[/tex3] é o eixo radical entre [tex3]\omega[/tex3] e [tex3]\gamma_A[/tex3] , então, [tex3]\Omega_A[/tex3] é necessariamente ortogonal a [tex3]\gamma_A[/tex3] . Logo, o ponto [tex3]X_1[/tex3] está sobre uma reta tangente a [tex3]\gamma_A[/tex3] pelo ponto [tex3]K[/tex3] . Analogamente, [tex3]\Omega_A[/tex3] é ortogonal ao incírculo do [tex3]\triangle Bo_1C[/tex3] e a [tex3]S_1[/tex3] . Mas como [tex3]S_1[/tex3] é tangente a [tex3]\gamma_A[/tex3] , o eixo radical entre ambos é a reta tangente comum pelo ponto de contato, a qual deverá passar por [tex3]K[/tex3] , logo, deve ser a reta [tex3]KX_1[/tex3] , portanto [tex3]X_1 = S_1 \cap \gamma_A[/tex3] .
Creio que o resto da construção seja trivial.
Os raios dos círculos de Soddy são dados pelo teorema de Descartes
