Solução do Problema 56
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O ponto [tex3]F'_2[/tex3]
é a reflexão de [tex3]F_2[/tex3]
em relação a reta [tex3]r[/tex3]
, sendo [tex3]\overline{F_1 F'_2}=2a[/tex3]
.
Sabemos que [tex3]\angle APB =90^{\circ}[/tex3]
, logo [tex3]\angle F_1PF'_2 =90^{\circ}[/tex3]
. Desta forma temos que o triângulo [tex3]\Delta F_1 P F'_2[/tex3]
é retângulo.
Por pitágoras,
[tex3]\overline{F_1 P}^2+\overline{PF'_2}^2=4a^2[/tex3]
, mas [tex3]\overline{PF'_2}=\overline{PF_2}[/tex3]
Assim temos,
[tex3]\overline{F_1 P}^2+\overline{PF_2}^2=4a^2[/tex3]
Seja [tex3]P[/tex3]
um ponto qualquer [tex3](x,y)[/tex3]
e [tex3]F_1=(0,-c),\,\,F_2=(0,c)[/tex3]
Substituindo,
[tex3]x^2+(y+c)^2+x^2+(y-c^2)=4a^2[/tex3]
[tex3]x^2+y^2+c^2+x^2+y^2+c^2=4a^2[/tex3]
[tex3]x^2+y^2=2a^2-c^2=a^2 +(a^2-c^2)=a^2+b^2[/tex3]
[tex3]x^2+y^2=16+9[/tex3]
[tex3]\boxed{x^2+y^2=25}[/tex3]
Que representa uma circunferência centrada na origem de raio [tex3]R=\sqrt{16+9}=5[/tex3]
.
Problema 57
(ITA - 1980) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação [tex3]x^2+y^2=ax+by[/tex3]
, onde a e b são números reais não nulos, representa a seguinte
curva:
a)Circunferência de raio [tex3]\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}[/tex3]
b)Circunferência de raio [tex3]\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]
c)Circunferência de raio [tex3]\frac{a+b}{2}[/tex3]
d)Parábola de vértice no ponto [tex3](a,b)[/tex3]
e)Elípse com semi-eixos de comprimentos [tex3]\frac{a}{2},\frac{b}{2}[/tex3]