Física III

Mensagem não lidapor **careca** » 04 Mai 2024, 12:55 · Mensagem não lida por **careca** » 04 Mai 2024, 12:55

Encontre a resistência elétrica, do circuito anterior, entre os pontos A e B. As resistências das arestas do hexágono maior são iguais a R, já as do hexágono menor valem R/2. A resistência de cada fio entre os hexágonos vale R/2 ea dos fios no interior do menor valem R/4.

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Resposta

13R/20

existe uma simetria ao longo da reta AB. Então dá pra igualar os potenciais dos pontos simétricos em relação a essa reta. Assim:

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Ainda assim dá muita conta depois disso.
Eu encontrei [tex3]\frac9{20}R[/tex3] , mas talvez eu tenha errado algo.

Mensagem não lidapor **careca** » 04 Mai 2024, 17:22 · Mensagem não lida por **careca** » 04 Mai 2024, 17:22

Eu também fiz baseado nessa simetria, e deu um gabarito diferente, mas não lembro quanto foi. De qualquer forma, obrigado.

careca, na pior das hipóteses, vira um sistema com 23 equações lineares.

Vamos lá, na força bruta. Imponha [tex3]V_A = 0[/tex3] .

Veja que maravilha

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as equações dos nós são:
nó A: [tex3]I = 2I_1+I_4[/tex3]
nó C: [tex3]I_1 = I_2+I_5[/tex3]
nó D: [tex3]I_2=I_3+I_6[/tex3]
nó B: [tex3]I = 2I_3+I_7[/tex3]
nó G: [tex3]I_4 = 2I_8 +I_{11}[/tex3]
nó E: [tex3]I_5 + I_8 = I_9 + I_{12}[/tex3]
nó F: [tex3]I_9+I_{13} +I_6 = I_{10}[/tex3]
nó I: [tex3]I_{14} +2I_{10} = I_7[/tex3]

temos 15 variáveis e 8 equações. Falta adicionar 14 equações e [tex3]8[/tex3] variáveis. São as leis de Ohm:

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[tex3]V_C = I_1R, V_D - V_C = I_2R, V_B - V_D = I_3R \implies V_C = RI_1, V_D = R(I_1+I_2), V_B = R(I_1+I_2+I_3)[/tex3]
[tex3]V_G = \frac R2 I_4, V_E = V_G + I_8 \frac R2 = V_C + I_5 \frac R2, V_F = V_E + I_9\frac R2= V_D + I_6 \frac R2, V_I = V_F+I_{10}\frac R2[/tex3]
ou seja:
[tex3]V_G = \frac R2I_4, V_E = \frac R2(2I_1+I_5),V_F = \frac R2(2I_1+2I_2+I_6), V_I =\frac R2(2I_1+2I_2+I_6+I_{10}) [/tex3]
[tex3]I_8 = 5I_1-I-I_2, I_5+I_9=2I_2+I_6 \iff I_9 = 4I_2-I_3-I_1 [/tex3] 11 equações de correntes.

[tex3]V_B - V_I = I_7 \frac R2 \iff I_7 = 2I_1+2I_2+2I_3 - 2I_1-2I_2 - I_6 - I_{10} \iff I_7 + I_{10} = 2I_3 - I_6[/tex3] 12 equações de corrente.

[tex3]V_H - V_G = \frac R4 I_{11} \implies V_H = \frac R4 (I_{11} +2I_4)[/tex3]
[tex3]V_I-V_H = \frac R4I_{14} \iff 4I_1+4I_2+2I_6+2I_{10} = I_{14} +I_{11}+2I_4[/tex3] 13
[tex3]V_H - V_E = \frac R4 I_{12} \iff I_{11}+2I_4 = I_{12} + 4I_1+2I_5[/tex3] 14 equações de corrente. Partiu.

[tex3]I_4 = I-2I_1,I_5 = I_1-I_2, I_6 = I_2-I_3, I_7=I-2I_3[/tex3] .
próximas equações: [tex3]I_{11} = I_4-2I_8, I_{12} = I_5+I_8-I_9, I_{13} = I_{10}-I_6-I_9, I_{14} = I_{7} -2I_{10}[/tex3]

[tex3]I_3 = \frac{13I_1-6I_2}{11}[/tex3]

só mais uma equação da corrente. Já termino.

[tex3]V_F-V_H = I_{13}\frac R4 \iff 4I_1+4I_2+2I_6=I_{13}+I_{11}+2I_4 [/tex3]

donde [tex3]I_2 = \frac9{16}I_1, I_3 = \frac78I_1, I =\frac{15}4I_1[/tex3]
dai
[tex3]V_B = R(I_1+I_2+I_3) = RI_1 \cdot \frac{39}{16} = \frac{13}{20}RI \implies R_{eq} = \frac{13}{20}R[/tex3]

Pronto. Revi minhas contas. Omiti muita coisa, mas, quem puder conferir agora verá que está tudo certo. De fato, [tex3]\frac{13}{20}R[/tex3] .

Existe uma maneira menos masoquista de fazer? Provavelmente, abusando das simetrias e usando as transformações delta-estrela.

Vídeo do Super Exatas relacionado https://www.youtube.com/watch?v=CHjD9tVolgI

Até consegui fazer usando a simetria e a delta estrela, mas dá muito trabalho colocar no fórum

Vou deixar registrado o jeito correto de resolver essa questão.

Temos quase uma simetria perfeita em relação a um eixo vertical que passa pelo centro dos hexágonos.

Para deixar a simetria perfeita, dividiremos as resistências dos fios horizontais em duas resistências de [tex3]\frac R2[/tex3] e duas de [tex3]\frac{R}4[/tex3] . Temos que os pontos do circuito que estão em contato com esse eixo de simetria têm o mesmo potencial (incluindo o centro [tex3]H[/tex3] dos hexágonos), conforme a figura abaixo:

Basta então calcularmos a resistência equivalente entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]H[/tex3] na figura abaixo e multiplicá-la por dois, pois é como se essa resistência estivesse em série com ela mesma, uma vez que o circuito entre [tex3]H[/tex3] e [tex3]B[/tex3] é o mesmo que o entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]H[/tex3] .

Vamos ordenar melhor esses pontos:

Fazendo as resistências equivalentes no desenho acima, teremos o seguinte (você verá um ponto Y com resistências não especificadas, isso sou eu projetando o próximo passo para resolver o circuito; portanto, ignore o nó Y e as suas 3 resistências adjacentes):

O próximo passo é transformar o Delta [tex3]ECH[/tex3] em uma "estrela" com o nó [tex3]Y[/tex3] que eu esbocei no desenho acima. Usamos a fórmula [tex3]R_c' = \frac{R_aR_b}{R_a+R_b+R_c}[/tex3] (típica da transformação de delta em estrela). Obteremos:

Fazendo as equivalentes da ligação em série (novamente, ignore o ponto [tex3]Z[/tex3] e seus três resistores não especificados):

Mais uma transformação do delta [tex3]GYH[/tex3] com a estrela em [tex3]Z[/tex3] (a resistência entre [tex3]Y[/tex3] e [tex3]Z[/tex3] é [tex3]\frac{R}{72}[/tex3] ):

Agora sim! Temos a seguinte resistência entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]Z[/tex3] :

[tex3](\frac R2 + \frac R8)//(\frac{11R}{18} + \frac{R}{72}) = \frac{5R}8 // \frac{5R}8 = \frac{5R}{16}[/tex3]

Então, a resistÊncia entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]H[/tex3] é [tex3]\frac{5R}{16} + \frac{R}{80} = \frac{R}{80}(1 + 25) = \frac{26R}{80} = \frac{13R}{40}[/tex3]

A resistência equivalente entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] é o dobro desta: [tex3]\frac{13R}{20}[/tex3] .

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