Pré-Vestibular ⇒ (UFMG - 1998) Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[matbatrobin]

Observe a figura.

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  AE03.png (4.97 KiB) Exibido 3167 vezes

Nessa figura, a circunferência tangencia a reta de equação [tex3]y = 2x[/tex3]

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[tex3]y = 2x[/tex3]

no ponto [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

de abscissa [tex3]x=2[/tex3]

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[tex3]x=2[/tex3]

e tangencia, também, o eixo [tex3]x.[/tex3]

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[tex3]x.[/tex3]

Determine o raio e as coordenadas do centro da circunfêrencia.

Solução:

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  AE53.png (6.8 KiB) Exibido 3022 vezes

Seja [tex3]C(a,b)[/tex3]

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[tex3]C(a,b)[/tex3]

o centro da circunferência. E fácil ver que [tex3]r=b,[/tex3]

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[tex3]r=b,[/tex3]

onde [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

é o raio da circunferência.

A ordenada do ponto [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

é [tex3]y=2\cdot 2=4.[/tex3]

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[tex3]y=2\cdot 2=4.[/tex3]

Como a circunferência tangencia a reta [tex3]y=2x[/tex3]

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[tex3]y=2x[/tex3]

e o eixo [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

em [tex3]P(2,4)[/tex3]

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[tex3]P(2,4)[/tex3]

e [tex3]Q(a,0),[/tex3]

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[tex3]Q(a,0),[/tex3]

respectivamente,

• [tex3]\overline{OQ}=\overline{OP}\Longrightarrow a=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}.[/tex3]

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  [tex3]\overline{OQ}=\overline{OP}\Longrightarrow a=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}.[/tex3]

A distância do ponto [tex3]C[/tex3]

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[tex3]C[/tex3]

à reta [tex3]2x-y=0[/tex3]

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[tex3]2x-y=0[/tex3]

é igual ao raio da circunferência. Logo,

• [tex3]b=\frac{|2a-b|}{\sqrt{5}}\Longrightarrow b=\frac{|2\cdot 2\sqrt{5}-b|}{\sqrt{5}}\Longrightarrow b\sqrt{5}=\pm(4\sqrt{5}-b)\Longrightarrow b=5-\sqrt{5}\text{ }(b>0).[/tex3]

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  [tex3]b=\frac{|2a-b|}{\sqrt{5}}\Longrightarrow b=\frac{|2\cdot 2\sqrt{5}-b|}{\sqrt{5}}\Longrightarrow b\sqrt{5}=\pm(4\sqrt{5}-b)\Longrightarrow b=5-\sqrt{5}\text{ }(b>0).[/tex3]

Resposta: [tex3]r=2\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]r=2\sqrt{5}[/tex3]

e [tex3]C=(2\sqrt{5}, 5-\sqrt{5}).[/tex3]

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[tex3]C=(2\sqrt{5}, 5-\sqrt{5}).[/tex3]

[GiovanaMSP]

Outro jeito (pois o colega matbatrobin já postou uma solução).

Screenshot at May 04 08-40-08.png (43.31 KiB) Exibido 102 vezes

Da figura: [tex3]\tan(2\theta )=\frac{2\tan(\theta )}{1-\tan^2(\theta )}=\frac{PE}{CE}=\frac{4}{2}=2\ \therefore \tan(\theta )=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex3]

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[tex3]\tan(2\theta )=\frac{2\tan(\theta )}{1-\tan^2(\theta )}=\frac{PE}{CE}=\frac{4}{2}=2\ \therefore \tan(\theta )=\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex3]

.

Por Pitágoras no triângulo CPE: [tex3]PC=\sqrt{(2)^2+(4)^2}=2\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]PC=\sqrt{(2)^2+(4)^2}=2\sqrt{5}[/tex3]

.

Assim: [tex3]\tan(\theta)=\frac{AP}{PC}\to \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{R}{2\sqrt{5}}\ \therefore\ R=5-\sqrt{5} \ \therefore\ A\left(2\sqrt{5},5-\sqrt{5}\right)[/tex3]

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[tex3]\tan(\theta)=\frac{AP}{PC}\to \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{R}{2\sqrt{5}}\ \therefore\ R=5-\sqrt{5} \ \therefore\ A\left(2\sqrt{5},5-\sqrt{5}\right)[/tex3]

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