Esta questão é do livro do Caio Guimarães. O gabarito do livro não é este que você indicou.
A propósito, salvo engano, o livro apresenta uma resolução ligeiramente diferente da minha, pois ele parte da identidade trigonométrica [tex3]sec^2(\theta)=1+tan^2(\theta)[/tex3]
.
Seja [tex3]z=a+bi[/tex3]
. Se [tex3]z[/tex3]
está sobre a bissetriz do primeiro quadrante, logo, [tex3]z=a+ai[/tex3]
. Isso ocorre pelo seguinte motivo: tendo em vista que a bissetriz do primeiro quadrante é dada por [tex3]y=x[/tex3]
, temos, portanto, a função identidade na qual a abcissa sempre será igual a ordenada. Deste modo, se o afixo (a,b) pertence a [tex3]y=x[/tex3]
, logo, [tex3]a=b[/tex3]
tal que [tex3]z=a+bi=a+ai[/tex3]
.
Manipulando o complexo [tex3]z[/tex3]
:
[tex3]z=\frac{i-1}{i+tan(\theta)}=\left[\frac{i-1}{i+tan(\theta)}\right]\left[\frac{tan(\theta)-i}{tan(\theta)-i}\right]=\frac{itan(\theta)+1-tan(\theta)+i}{tan^2(\theta)+1}=\frac{1-tan(\theta)}{tan^2(\theta)+1}+\frac{1+tan(\theta)}{tan^2(\theta)+1}i[/tex3]
Sendo [tex3]a=\frac{1-tan(\theta)}{tan^2(\theta)+1}=\frac{1+tan(\theta)}{tan^2(\theta)+1}\to1-tan(\theta)=1+tan(\theta)\ \therefore\ tan(\theta)=0\ \therefore\ \boxed{\theta =k\pi,k\in \mathbb{Z}}[/tex3]
Se houver dúvidas, avise.
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GiovanaMSP em 03 Mai 2024, 20:54, em um total de 4 vezes.
