Em Física de Partículas, algumas simetrias são importantes para se poder descrever o
grande número de partículas observado de forma simples e concisa, estabelecendo
conexões e padrões que a primeira vista podem não ser óbvios. Exemplos disso são os
píons, que aparecem em 3 cargas diferentes, mas que são na verdade estados diversos
de uma única partícula. Próton e nêutron são outro exemplo.
Do ponto de vista dinâmico, existem simetrias também, mas são mais difíceis de se
perceber. Colisões entre duas partículas podem produzir outras partículas diferentes,
mas qualquer combinação dessas partículas no início vai produzir resultados que
obedecem ao mesmo padrão. Isso se deve a simetrias que são preservadas nas
interações entre partículas.
As variáveis de Mandelstam, introduzidas pelo físico Stanley Mandelstam em 1958,
permitem usar essas simetrias de forma particularmente fácil permitindo utilizar as
simetrias e ao mesmo tempo levar em conta propriedades da cinemática relativística.
Essas variáveis são definidas por:
[tex3]s=(k_i+p_i)^2[/tex3]
[tex3]t=(k_i-k_f)^2[/tex3]
[tex3]u=(k_i-p_f)^2[/tex3]
Duas partículas de quadrimomentos iniciais [tex3]k_i[/tex3]
e [tex3]p_i[/tex3]
colidem e do processo saem duas partículas de quadrimomentos finais [tex3]k_f[/tex3]
e [tex3]p_f.[/tex3]
As massas de repouso das partículas de momento [tex3]k[/tex3]
e [tex3]p[/tex3]
são, respectivamente, [tex3]\mu[/tex3]
e [tex3]m.[/tex3]
Mostre que [tex3]s+t+u=2\mu^2 + 2m^2.[/tex3]
Física III ⇒ (SOIF 2017) Dinâmica relativística Tópico resolvido
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Mai 2024
03
11:37
Re: (SOIF 2017) Dinâmica relativística
Solução:
Note que esse problema está usando unidades naturais (onde c = 1).
[tex3]s+t+u=3k_i^2+p_i^2+k_f^2+p_f^2+2k_i(p_i - k_f - p_f).[/tex3] (1)
Devemos usar que [tex3]p_i^2=p_f^2=m^2[/tex3] e [tex3]k_i^2=k_f^2=\mu ^2[/tex3] (é mais comum você ver que o produto interno consigo mesmo do quadrivetor momento é menos o quadrado da massa. É apenas uma questão de convenção. Se o produto interno for menos o quadrado da massa, a assinatura usada para a métrica é a (- + + +), e no caso dessa questão está sendo usada a (+ - - -)).
Ademais, [tex3]k_i+p_i=k_f+p_f \Longrightarrow p_i-k_f-p_f=-k_i.[/tex3]
Inserindo esses resultados em (1):
[tex3]s+t+u=4\mu^2 + 2m^2-2k_i^2=4\mu^2+ 2m^2-2 \mu^2 = 2 \mu^2 + 2m^2,[/tex3] C.Q.D.
Note que esse problema está usando unidades naturais (onde c = 1).
[tex3]s+t+u=3k_i^2+p_i^2+k_f^2+p_f^2+2k_i(p_i - k_f - p_f).[/tex3] (1)
Devemos usar que [tex3]p_i^2=p_f^2=m^2[/tex3] e [tex3]k_i^2=k_f^2=\mu ^2[/tex3] (é mais comum você ver que o produto interno consigo mesmo do quadrivetor momento é menos o quadrado da massa. É apenas uma questão de convenção. Se o produto interno for menos o quadrado da massa, a assinatura usada para a métrica é a (- + + +), e no caso dessa questão está sendo usada a (+ - - -)).
Ademais, [tex3]k_i+p_i=k_f+p_f \Longrightarrow p_i-k_f-p_f=-k_i.[/tex3]
Inserindo esses resultados em (1):
[tex3]s+t+u=4\mu^2 + 2m^2-2k_i^2=4\mu^2+ 2m^2-2 \mu^2 = 2 \mu^2 + 2m^2,[/tex3] C.Q.D.
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