Ensino Médio ⇒ Circunferência Tópico resolvido

[AngelitaB]

Dada a figura, calcular: PN.

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a)10
b)11
c)12
d)13
e)14

Resposta

---

c

[παθμ]

AngelitaB,

d72d1dec-6212-4563-9a7a-2a06aea70dd5.jpg (31.3 KiB) Exibido 108 vezes

Sejam [tex3]PN=a, \; \; NB=b, \; \; AP=c.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PN=a, \; \; NB=b, \; \; AP=c.[/tex3]

Veja que os triângulos PNB e PNA são semelhantes. A razão de semelhança pode ser expressa por [tex3]\frac{a}{b},[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{b},[/tex3]

e também pode ser expressa pela razão entre os raios das circunferências inscritas, então [tex3]\frac{a}{b}=\frac{4}{3} \Longrightarrow b=\frac{3a}{4}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{b}=\frac{4}{3} \Longrightarrow b=\frac{3a}{4}.[/tex3]

[tex3]PB^2=a^2+b^2 \Longrightarrow PB=\frac{5a}{3}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PB^2=a^2+b^2 \Longrightarrow PB=\frac{5a}{3}.[/tex3]

A área do triângulo PNB é [tex3]\frac{ab}{2}=\frac{3a^2}{8},[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ab}{2}=\frac{3a^2}{8},[/tex3]

que também pode ser expressa pela fórmula (semi-perímetro) x (raio da circunferência inscrita):

[tex3]\frac{a+b+PB}{2}\cdot 3=\frac{9a}{2}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a+b+PB}{2}\cdot 3=\frac{9a}{2}.[/tex3]

Então [tex3]\frac{3a^2}{8}=\frac{9a}{2} \Longrightarrow \boxed{a=12}[/tex3]

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[tex3]\frac{3a^2}{8}=\frac{9a}{2} \Longrightarrow \boxed{a=12}[/tex3]

Alternativa C

[geobson]

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