Física III ⇒ (SOIF 2016) Dinâmica de partícula carregada Tópico resolvido

[παθμ]

O magnetron é composto por um filamento cilíndrico de raio [tex3]a,[/tex3]

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[tex3]a,[/tex3]

dentro de uma placa cilíndrica condutora de raio [tex3]b.[/tex3]

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[tex3]b.[/tex3]

O filamento é aterrado e na placa é aplicada uma voltagem positivo [tex3]V,[/tex3]

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[tex3]V,[/tex3]

e um campo magnético uniforme [tex3]H[/tex3]

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[tex3]H[/tex3]

é direcionado ao longo do eixo do cilindro. Os elétrons partem do filamento com velocidade nula em direção a placa. Abaixo de que valor de voltagem aplicada na placa a corrente será suprimida por campo [tex3]H[/tex3]

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[tex3]H[/tex3]

?

[παθμ]

Solução:


Seja [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

o ângulo entre a velocidade do elétron e a direção radial, [tex3]q[/tex3]

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[tex3]q[/tex3]

o módulo de sua carga e [tex3]F_B[/tex3]

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[tex3]F_B[/tex3]

a força magnética:

097646e3-137a-4347-8621-b6409e9d068d.jpg (12.02 KiB) Exibido 89 vezes

Não há força elétrica na direção tangencial, então a força tangencial que age no elétron é [tex3]F_B \sin(90 \degree - \theta)=qvB \cos(\theta)=qB \frac{dr}{dt},[/tex3]

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[tex3]F_B \sin(90 \degree - \theta)=qvB \cos(\theta)=qB \frac{dr}{dt},[/tex3]

daí o torque é [tex3]\tau =qB r \frac{dr}{dt}=\frac{dL}{dt},[/tex3]

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[tex3]\tau =qB r \frac{dr}{dt}=\frac{dL}{dt},[/tex3]

onde [tex3]L[/tex3]

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[tex3]L[/tex3]

é o momento angular do elétron.

[tex3]\int d L = qB \int r \; dr \Longrightarrow L=\frac{qBr^2}{2} + \text{cte.} \Longrightarrow L-\frac{qBr^2}{2}=\text{cte.}[/tex3]

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[tex3]\int d L = qB \int r \; dr \Longrightarrow L=\frac{qBr^2}{2} + \text{cte.} \Longrightarrow L-\frac{qBr^2}{2}=\text{cte.}[/tex3]

Como o elétron parte do repouso, com [tex3]L=0[/tex3]

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[tex3]L=0[/tex3]

e [tex3]r=a,[/tex3]

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[tex3]r=a,[/tex3]

temos então [tex3]L=\frac{qB(r^2-a^2)}{2}.[/tex3]

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[tex3]L=\frac{qB(r^2-a^2)}{2}.[/tex3]

Na situação crítica em que os elétrons são impedidos de atingir a placa, eles chegam infinitamente próximos a ela com velocidade puramente tangencial, [tex3]v.[/tex3]

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[tex3]v.[/tex3]

Pela conservação da energia: [tex3]\frac{mv^2}{2}=qV \Longrightarrow v=\sqrt{\frac{2qV}{m}}[/tex3]

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[tex3]\frac{mv^2}{2}=qV \Longrightarrow v=\sqrt{\frac{2qV}{m}}[/tex3]

[tex3]L=mvb=\frac{qB(b^2-a^2)}{2} \Longrightarrow \boxed{V=\frac{qB^2(b^2-a^2)^2}{8mb^2}}[/tex3]

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[tex3]L=mvb=\frac{qB(b^2-a^2)}{2} \Longrightarrow \boxed{V=\frac{qB^2(b^2-a^2)^2}{8mb^2}}[/tex3]

Obs: O enunciado fornece o campo [tex3]H,[/tex3]

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[tex3]H,[/tex3]

que no vácuo é simplesmente dado por [tex3]H=\frac{B}{\mu_0}.[/tex3]

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[tex3]H=\frac{B}{\mu_0}.[/tex3]