Pré-Vestibular ⇒ (UFT/2014) - Trigonometria

[oilut]

A seguinte figura mostra a circunferência trigonométrica. Determine o valor da relação N.

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Alternativas:

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Resposta

---

Gabarito: C

[ProfLaplace]

Questão bacana!
Note que o triângulo [tex3]AOC[/tex3]

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[tex3]AOC[/tex3]

é isósceles, pois dois lados valem 1. Assim, [tex3]\angle(OAC)=\alpha[/tex3]

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[tex3]\angle(OAC)=\alpha[/tex3]

e também [tex3]\angle(AOC)=\pi-2\alpha[/tex3]

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[tex3]\angle(AOC)=\pi-2\alpha[/tex3]

. Usando a fórmula da área por senos, podemos achar a área A1 do triângulo AOC:
[tex3]A1=\frac{1\cdot 1\cdot \sin(\pi-2\alpha)}{2}=\frac{\sin{2\alpha}}{2}[/tex3]

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[tex3]A1=\frac{1\cdot 1\cdot \sin(\pi-2\alpha)}{2}=\frac{\sin{2\alpha}}{2}[/tex3]

Agora olhe para o triângulo retângulo BOA. Fazendo uma trigonometria básica, chegamos que [tex3]OB=\tan{\alpha}[/tex3]

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[tex3]OB=\tan{\alpha}[/tex3]

.
Sendo A2 a área do triângulo BOA, temos:
[tex3]A2=\frac{1\cdot\tan{\alpha}}{2}=\frac{\tan{\alpha}}{2}[/tex3]

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[tex3]A2=\frac{1\cdot\tan{\alpha}}{2}=\frac{\tan{\alpha}}{2}[/tex3]

.
Seja agora A3 a área do triângulo BCO. Podemos achar A3 por subtração de áreas:
[tex3]A3=\frac{\sin{2\alpha}}{2}-\frac{\tan{\alpha}}{2}[/tex3]

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[tex3]A3=\frac{\sin{2\alpha}}{2}-\frac{\tan{\alpha}}{2}[/tex3]

.
Agora calculamos N:
[tex3]N=\frac{A1}{A3}=\frac{\sin{2\alpha}}{\sin{2\alpha}-\tan{\alpha}}=\frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}-\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}}[/tex3]

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[tex3]N=\frac{A1}{A3}=\frac{\sin{2\alpha}}{\sin{2\alpha}-\tan{\alpha}}=\frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}-\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}}[/tex3]

.
Arrumando as contas, temos:
[tex3]N=\frac{2\cos^2{\alpha}}{2\cos^2{\alpha}-1}=\frac{2\cos^2{\alpha}}{\cos{2\alpha}}[/tex3]

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[tex3]N=\frac{2\cos^2{\alpha}}{2\cos^2{\alpha}-1}=\frac{2\cos^2{\alpha}}{\cos{2\alpha}}[/tex3]

.

[παθμ]

oilut, note que o triângulo AOC é isósceles de lado isósceles [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

(o raio da circunferência), então [tex3]\angle O \hat{A} C= \alpha.[/tex3]

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[tex3]\angle O \hat{A} C= \alpha.[/tex3]

A altura do triângulo AOC é então [tex3]h=R \sin(\alpha),[/tex3]

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[tex3]h=R \sin(\alpha),[/tex3]

e sua base é [tex3]b=2R \cos(\alpha).[/tex3]

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[tex3]b=2R \cos(\alpha).[/tex3]

[tex3][AOC]=\frac{bh}{2}=R^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha).[/tex3]

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[tex3][AOC]=\frac{bh}{2}=R^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha).[/tex3]

O triângulo AOB é retângulo, com um cateto medindo [tex3]R[/tex3]

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[tex3]R[/tex3]

e o outro [tex3]R \tan(\alpha),[/tex3]

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[tex3]R \tan(\alpha),[/tex3]

então sua área é [tex3]\frac{R^2 \tan(\alpha)}{2}.[/tex3]

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[tex3]\frac{R^2 \tan(\alpha)}{2}.[/tex3]

[tex3][BCO]=[AOC]-[AOB]=R^2\left(\sin(\alpha)\cos(\alpha)-\frac{\tan(\alpha)}{2}\right).[/tex3]

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[tex3][BCO]=[AOC]-[AOB]=R^2\left(\sin(\alpha)\cos(\alpha)-\frac{\tan(\alpha)}{2}\right).[/tex3]

[tex3]\frac{[AOC]}{[BCO]}=\frac{\sin(\alpha) \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)-\frac{\tan(\alpha)}{2}}.[/tex3]

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[tex3]\frac{[AOC]}{[BCO]}=\frac{\sin(\alpha) \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)-\frac{\tan(\alpha)}{2}}.[/tex3]

Dividide em cima e em baixo por [tex3]\sin(\alpha)[/tex3]

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[tex3]\sin(\alpha)[/tex3]

e multiplica por [tex3]2\cos(\alpha):[/tex3]

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[tex3]2\cos(\alpha):[/tex3]

[tex3]\frac{[AOC]}{[BCO]}=\frac{2\cos^2(\alpha)}{2\cos^2(\alpha)-1}=\boxed{\frac{2\cos^2(\alpha)}{\cos(2\alpha)}}[/tex3]

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[tex3]\frac{[AOC]}{[BCO]}=\frac{2\cos^2(\alpha)}{2\cos^2(\alpha)-1}=\boxed{\frac{2\cos^2(\alpha)}{\cos(2\alpha)}}[/tex3]

Alternativa C