Ensino Médio ⇒ Sistema com logaritmos Tópico resolvido

[Felipe22]

{x^{log y}+ y^{log x} = 20
{log[tex3]\sqrt{x.y}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x.y}[/tex3]

= 1

gab: s: { 10 , 10}

[παθμ]

Felipe22,

[tex3]x^{\log(y)}+y^{\log(x)}=20 \Longrightarrow y^{\log(x)}=20-x^{\log(y)}.[/tex3]

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[tex3]x^{\log(y)}+y^{\log(x)}=20 \Longrightarrow y^{\log(x)}=20-x^{\log(y)}.[/tex3]

Tirando o log dos dois lados: [tex3]\log(x)\log(y)=\log(20-x^{\log(y)}).[/tex3]

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[tex3]\log(x)\log(y)=\log(20-x^{\log(y)}).[/tex3]

(1)

[tex3]\log(\sqrt{xy})=1 \Longrightarrow \frac{\log(x)+\log(y)}{2}=1 \Longrightarrow \log(y)=2-\log(x)[/tex3]

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[tex3]\log(\sqrt{xy})=1 \Longrightarrow \frac{\log(x)+\log(y)}{2}=1 \Longrightarrow \log(y)=2-\log(x)[/tex3]

(2)

(2) em (1): [tex3]\log(x)(2-\log(x))=2\log(x)-\log(x)^2=\log(x^2)-\log(x^{\log(x)})=\log\left(x^{2-\log(x)}\right)=\log(20-x^{\log(y)}).[/tex3]

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[tex3]\log(x)(2-\log(x))=2\log(x)-\log(x)^2=\log(x^2)-\log(x^{\log(x)})=\log\left(x^{2-\log(x)}\right)=\log(20-x^{\log(y)}).[/tex3]

Ou seja, [tex3]x^{2-\log(x)}=20-x^{\log(y)}.[/tex3]

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[tex3]x^{2-\log(x)}=20-x^{\log(y)}.[/tex3]

Mas [tex3]x^{\log(y)}=x^{2-\log(x)},[/tex3]

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[tex3]x^{\log(y)}=x^{2-\log(x)},[/tex3]

então:

[tex3]2x^{2-\log(x)}=20 \Longrightarrow x^{2-\log(x)}=10 \Longrightarrow (2-\log(x))\log(x)=\log(10) \Longrightarrow \log(x)^2-2\log(x)+1=0 \Longrightarrow \left(\log(x)-1\right)^2=0 \Longrightarrow \log(x)=1 \Longrightarrow \boxed{x=10}[/tex3]

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[tex3]2x^{2-\log(x)}=20 \Longrightarrow x^{2-\log(x)}=10 \Longrightarrow (2-\log(x))\log(x)=\log(10) \Longrightarrow \log(x)^2-2\log(x)+1=0 \Longrightarrow \left(\log(x)-1\right)^2=0 \Longrightarrow \log(x)=1 \Longrightarrow \boxed{x=10}[/tex3]

[tex3]\log(y)=2-1=1 \Longrightarrow \boxed{y=10}[/tex3]

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[tex3]\log(y)=2-1=1 \Longrightarrow \boxed{y=10}[/tex3]