Física I ⇒ (UFPI - 2023) Oscilações Tópico resolvido

[quantumboy]

Um cubo de 10 cm de aresta e densidade 8 g/cm3
está suspenso do teto por uma mola de
constante elástica 40 N/m e comprimento relaxado de 0,5 m, e mergulhado dentro de um fluido
viscoso de densidade 1,25 g/cm3. Considere a resistência do fluido como proporcional à
velocidade, com coeficiente de proporcionalidade b = 2 N.s/m. Inicialmente em equilíbrio, o
bloco é deslocado de 1 cm para baixo e solto a partir do repouso.

Figura segue em anexo

a) Classifique o movimento.
b) Considerando a origem da coordenada no teto e eixo z vertical orientado para baixo (ver
figura acima), determine a coordenada z(t) da extremidade superior do bloco em função
do tempo.
c) Expresse o equivalente elétrico do sistema, e a equação para a corrente elétrica no
circuito.

[παθμ]

quantumboy,

a) Oscilador harmônico amortecido

b) Não é necessário contabilizar as forças do peso ou do empuxo no sistema, pois forças constantes apenas servem para deslocar a posição de equilíbrio do oscilador. A força restauradora continua sendo [tex3]-kz,[/tex3]

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[tex3]-kz,[/tex3]

onde [tex3]z[/tex3]

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[tex3]z[/tex3]

é a coordenada relativa à posição de equilíbrio.

A equação de movimento é [tex3]m \ddot{z}=-kz-b \dot{z} \Longrightarrow m \ddot{z}+b \dot{z}+kz=0.[/tex3]

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[tex3]m \ddot{z}=-kz-b \dot{z} \Longrightarrow m \ddot{z}+b \dot{z}+kz=0.[/tex3]

A solução geral é [tex3]z(t)=A e^{-bt/2}\cos(\omega t + \alpha),[/tex3]

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[tex3]z(t)=A e^{-bt/2}\cos(\omega t + \alpha),[/tex3]

onde [tex3]\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{b^2}{4}}[/tex3]

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[tex3]\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{b^2}{4}}[/tex3]

sendo [tex3]\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.[/tex3]

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[tex3]\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.[/tex3]

Obtemos [tex3]\omega = 2 \; \text{rad/s},[/tex3]

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[tex3]\omega = 2 \; \text{rad/s},[/tex3]

e em [tex3]t=0[/tex3]

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[tex3]t=0[/tex3]

a amplitude é [tex3]1 \; \text{cm}=0,01 \; \text{m}.[/tex3]

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[tex3]1 \; \text{cm}=0,01 \; \text{m}.[/tex3]

Daí, [tex3]z(0)=0,01 \cos(\alpha)=-0,01 \Longrightarrow \cos(\alpha)=-1 \Longrightarrow \alpha = \pi \Longrightarrow \cos(\omega t + \alpha)=-\cos( 2 t).[/tex3]

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[tex3]z(0)=0,01 \cos(\alpha)=-0,01 \Longrightarrow \cos(\alpha)=-1 \Longrightarrow \alpha = \pi \Longrightarrow \cos(\omega t + \alpha)=-\cos( 2 t).[/tex3]

Então a equação de movimento é [tex3]\boxed{z(t)=-0,01 e^{-t} \cos(2t)}[/tex3]

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[tex3]\boxed{z(t)=-0,01 e^{-t} \cos(2t)}[/tex3]

c) O equivalente elétrico é um circuito RLC. A equação é:

[tex3]\frac{Q}{C}+RI+L\dot{I}=0.[/tex3]

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[tex3]\frac{Q}{C}+RI+L\dot{I}=0.[/tex3]

Sendo [tex3]I=\dot{Q}:[/tex3]

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[tex3]I=\dot{Q}:[/tex3]

[tex3]\ddot{Q}+\frac{R}{L}\dot{Q}+\frac{Q}{LC}=0.[/tex3]

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[tex3]\ddot{Q}+\frac{R}{L}\dot{Q}+\frac{Q}{LC}=0.[/tex3]

[tex3]Q(t)=A e^{-\beta t}\cos( \omega t + \alpha),[/tex3]

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[tex3]Q(t)=A e^{-\beta t}\cos( \omega t + \alpha),[/tex3]

onde [tex3]\omega = \sqrt{\omega_0 ^2 - \beta^2}, \; \; \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}, \; \; \beta =\frac{R}{2L},[/tex3]

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[tex3]\omega = \sqrt{\omega_0 ^2 - \beta^2}, \; \; \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}, \; \; \beta =\frac{R}{2L},[/tex3]

e A e α são determinados pelas condições iniciais.

A corrente é [tex3]I(t)=\frac{dQ}{dt}[/tex3]

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[tex3]I(t)=\frac{dQ}{dt}[/tex3]