Pra provar algo por indução, você verifica o caso inicial e depois mostra que, se o caso [tex3]n=k[/tex3]
for verdadeiro, então o caso [tex3]n=k+1[/tex3]
também é. Uma observação importante é que o caso inicial não precisa ser necessariamente [tex3]n=1[/tex3]
, pode ser um valor qualquer. Mas é importante que na demonstração o caso [tex3]n=k[/tex3]
tenha [tex3]k[/tex3]
maior que o caso tomado como inicial.
a)
Provemos por indução que a sequência é limitada superiormente por 3:
- Caso inicial: [tex3]n=1[/tex3]
Temos que [tex3]a_1=\sqrt{2}<3[/tex3]
- Hipótese de indução: seja o padrão verdadeiro para [tex3]n=k[/tex3]
;
[tex3]a_k<3[/tex3]
Seja [tex3]a_{k+1}[/tex3]
, temos:
[tex3]a_{k+1}=\sqrt{2+a_k}[/tex3]
[tex3]a_{k+1}=\sqrt{2+a_k}<\sqrt{2+3}[/tex3]
[tex3]a_{k+1}<\sqrt{5}[/tex3]
[tex3]a_{k+1}<\sqrt{5}<\sqrt9[/tex3]
[tex3]a_{k+1}<3[/tex3]
Assim, está provado por indução.
Vou deixar de tarefa provar que [tex3]0< a_n<2,\forall ~~n\in\mathbb N[/tex3]
. Temos:
[tex3]a_n<2[/tex3]
[tex3]a^2_n<2a_n[/tex3]
[tex3]a^2_n< a_n+a_n[/tex3]
[tex3]a^2_n< a_n+a_n<2+a_n[/tex3]
[tex3]a^2_n<2+a_n[/tex3]
[tex3]a_n<\sqrt{2+a_n}[/tex3]
[tex3]a_n< a_{n+1}[/tex3]
Como a sequência é crescente e limitada, então,
pelo Teorema da Sequência Monótona, ela é convergente.
b)
Seja esse limite igual a [tex3]L[/tex3]
. Podemos encontrar seu valor utilizando a recursividade:
[tex3]L=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}[/tex3]
[tex3]L=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{2+a_n}[/tex3]
[tex3]L=\sqrt{\lim_{n\rightarrow\infty}\(2+a_n\)}[/tex3]
[tex3]L=\sqrt{2+\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}[/tex3]
[tex3]L=\sqrt{2+L}[/tex3]
[tex3]L^2={2+L}[/tex3]
[tex3]L^2-L-2=0[/tex3]
Por Bhaskara:
[tex3]L={-1} \text{ ou } 2[/tex3]
Como [tex3]a_n>0[/tex3]
, então [tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\geq 0[/tex3]
. Portanto:
[tex3]\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=2[/tex3]
