A educação financeira orienta poupar, quando possível, e investir excedentes de proventos e lucros em ativos financeiros, objetivando a posterior aquisição de algum bem ou a formação de um fundo de segurança para eventuais emergências.
Um investidor pretende formar hoje uma poupança aplicando a partir do início do próximo mês durante vinte meses quantias mensais de R$ 200 à taxa de 12% a.a.. Consegue ainda adicionar ao mesmo fundo de investimento a juros compostos, R$ 3.000,00 no oitavo mês e R$ 4.000,00 no décimo segundo mês. Após os vinte meses programados, o valor disponível será de:
Escolha uma opção:
a. R$ 12.142,24
b. R$ 12.098,20
c. R$ 12.027,20
d. R$ 12.097,46
e. R$ 12.055,88
Observação: A resposta correta é a letra e. R$ 12.055,88, porém gostaria de saber como é feito o cálculo para se chegar a esse resultado.
FATEC / GEMP / EAD / 2022
Ensino Superior ⇒ Matemática Financeira - Juros Compostos
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2022
05
21:40
Re: Matemática Financeira - Juros Compostos
aprg2022,
O enunciado do exercício afirma que um investidor qualquer deu início HOJE a uma poupança, aplicando R$ 200,00 por mês a partir do início do mês seguinte, durante um total de 20 meses, até o resgate pleno do investimento!!!!!!!!!
Chamaremos estes depósitos mensais de R$ 200,00 genericamente de "C"!!!!!!!!!
Passado 1 mês dos primeiros R$ 200,00 depositados, temos o primeiro montante "M1", do primeiro mês de rentabilidade. Assim:
[tex3]M1 = C*(1+i mensal)[/tex3]
O problema afirma que a capitalização dos juros se dará via taxa de 12% ao ano, porém a capitalização é mensal!!!!!!!!
Efetivamente, podemos calcular a taxa mensal como sendo aquela que gera o mesmo montante da taxa anual, em juros compostos. Equacionando, temos:
[tex3]M = C*(1+i mensal)^{12}[/tex3]
E também:
[tex3]M = C*(1+i anual)^1[/tex3]
Para mesmo montante e capital, temos que:
[tex3](1+i mensal)^{12} = (1+i anual)^1[/tex3]
i anual = 12% a.a. = 12% / ano = 0,12 / ano.
Substituindo "i anual" na equação anterior, vem que:
[tex3](1+i mensal)^{12} = (1+0,12)^1[/tex3]
[tex3]1+i mensal = (1,12)^{1/12}[/tex3]
i mensal = 0,00948879293 / mês.
É importante trabalhar com todas as casas decimais e arredondar só ao fim, para não perder precisão dos resultados!!!!!!!!
Voltando para a primeira equação do montante 1, temos que:
[tex3]M1 = C*(1,00948879293)[/tex3]
Ao passar um segundo mês de rentabilidade, temos um montante "M2":
[tex3]M2 = (M1+C)*(1,00948879293)[/tex3]
[tex3]M2 = 1,00948879293M1 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M2 = (1,00948879293)^2C + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M2 = C*[(1,00948879293)^2 + (1,00948879293)][/tex3]
Lembrando que todos os meses teremos a adição de um fator "C", pois o depósito de R$ 200,00 é mensal e constante ao longo dos meses!!!!!!!!
Seguindo para o terceiro mês de rentabilidade:
[tex3]M3 = (M2+C)*(1,00948879293)[/tex3]
[tex3]M3 = 1,00948879293M2+1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M3 = (1,00948879293)^3C + (1,00948879293)^2C + (1,00948879293)C[/tex3]
[tex3]M3 = C*[(1,00948879293)^3 + (1,00948879293)^2 + (1,00948879293)][/tex3]
Note que, de "M1" para "M3", os fatores de capitalização evoluem via Progressão Geométrica (P.G.), com seus termos se somando após cada capitalização!!!!!!!!
Podemos reescrever a última equação em termos da soma dos termos de uma P.G.!!!!!!!!
Assim:
[tex3]M3 = C*[S3][/tex3]
Sendo "S3" a soma dos 3 termos da P.G. na equação em questão!!!!!!!!!
Após 7 meses de rentabilidade, temos acumulados:
[tex3]M7 = C*[S7][/tex3]
Usando a soma de "n" termos de uma P.G.:
[tex3]Sn = a1*(q^n -1) / q-1[/tex3]
[tex3]S7 = (1,00948879293)*[(1,00948879293)^7 -1] / 0,00948879293[/tex3]
Logo, "M7" é calculado por:
[tex3]M7 = 200,00*[(1,00948879293)*[(1,00948879293)^7-1] / 0,00948879293][/tex3]
M7 = R$ 1.454,157561.
No começo do 8º mês de rentabilidade, além dos tradicionais R$ 200,00, tem-se também um depósito adicional de R$ 3.000,00. Assim, passado mais 1 mês de rentabilidade, temos um "M8" dado por:
[tex3]M8 = (1.454,157561 + 200,00 + 3.000,00)*(1,00948879293)[/tex3]
[tex3]M8 = 4.654,157561*(1,00948879293)[/tex3]
Prosseguindo para o montante 9, vem que:
[tex3]M9 = (M8+C)*(1,00948879293)[/tex3]
[tex3]M9 = 1,00948879293M8 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M9 = 4.654,157561*(1,00948879293)^2 + 1,00948879293C[/tex3]
Para o montante 10:
[tex3]M10 = 1,00948879293M9 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M10 = 4.654,157561*(1,00948879293)^3 + (1,00948879293)^2C + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M10 = 4.654,157561*(1,00948879293)^3 + C*[(1,00948879293)^2 + (1,00948879293)][/tex3]
Ao final do 11º mês de rentabilidade, teremos:
[tex3]M11 = 1,00948879293M10 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M11 = 4.654,157561*(1,00948879293)^4 + (1,00948879293)^3C + (1,00948879293)^2C + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M11 = 4.654,157561*(1,00948879293)^4 + C*[(1,00948879293)^3 + (1,00948879293)^2 + (1,00948879293)][/tex3]
M11 = 4.833,337119 + 200,00*3,057293755 = 5.444,79587.
No começo do 12º mês de rentabilidade, além dos tradicionais R$ 200,00, tem-se agora um segundo depósito adicional, mas de R$ 4.000,00. Assim, passado mais 1 mês de rentabilidade, temos agora um "M12" dado por:
[tex3]M12 = (5.444,79587+200,00+4.000,00)*(1,00948879293)[/tex3]
[tex3]M12 = 9.644,79587*(1,00948879293)[/tex3]
Prosseguindo para "M13":
[tex3]M13 = (M12+C)*(1,00948879293)[/tex3]
[tex3]M13 = 1,00948879293M12 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M13 = 9.644,79587*(1,00948879293)^2 + 1,00948879293C[/tex3]
Para "M14":
[tex3]M14 = 1,00948879293M13 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M14 = 9.644,79587*(1,00948879293)^3 + (1,00948879293)^2C + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M14 = 9.644,79587*(1,00948879293)^3 + C*[(1,00948879293)^2 + (1,00948879293)][/tex3]
Com a soma de "n" termos de P.G., podemos reescrever a última equação como:
[tex3]M14 = 9.644,79587*(1,00948879293)^3 + C*[S2][/tex3]
Para "M15":
[tex3]M15 = 1,00948879293M14 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M15 = 9.644,79587*(1,00948879293)^4 + (1,00948879293)^3C + (1,00948879293)^2C + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M15 = 9.644,79587*(1,00948879293)^4 + C*[(1,00948879293)^3 + (1,00948879293)^2 + (1,00948879293)][/tex3]
Ou, na expressão da soma de "n" termos da P.G.:
[tex3]M15 = 9.644,79587*(1,00948879293)^4 + C*[S3][/tex3]
A partir de "M13", note que o padrão estabelecido é o de:
M13 ----------- primeiro expoente 2 -------------- S1 (P.G.)
M14 ----------- primeiro expoente 3 -------------- S2 (P.G.)
M15 ----------- primeiro expoente 4 -------------- S3 (P.G.)
M16 ----------- primeiro expoente 5 -------------- S4 (P.G.)
M17 ----------- primeiro expoente 6 -------------- S5 (P.G.)
M18 ----------- primeiro expoente 7 -------------- S6 (P.G.)
M19 ----------- primeiro expoente 8 -------------- S7 (P.G.)
Tendo em vista que o primeiro depósito não ocorreu na data de HOJE, mas apenas no início do mês seguinte, com as capitalizações acontecendo apenas a partir do segundo mês de existência da conta poupança, após o término de 20 meses de abertura da referida conta de aplicação, teremos 19 capitalizações ao invés de 20, já que o primeiro depósito NÃO aconteceu HOJE, mas apenas NO MÊS SEGUINTE ao da abertura da conta!!!!!!!
O enunciado do problema traria maior coerência acerca de quando a conta foi iniciada/aberta, se no início, durante ou fim do mês referente a HOJE para que pudéssemos calcular com exatidão o valor final de 20 meses de conta poupança, caso trouxesse a data exata daquilo que chama de HOJE, como por exemplo, dia 14/03/X1!!!!!!!!
Essa flexibilização do texto atrapalha os cálculos pois, uma situação consiste na data de hoje ser 31/03/X1 para aplicar R$ 200,00 amanhã, que coincide com o mês seguinte!!!!!!!!
Outra situação, bem diferente na contagem de tempo, consiste na data de hoje ser 01/03/X1 para aplicar R$ 200,00 no mês seguinte que, neste caso, não será amanhã, mas sim daqui 1 mês!!!!!!!!
O jeito para resolver tal impasse consiste em assumir que, por "mês seguinte" entende-se "daqui a 1 mês" exatos e ver se a resposta confere com a do gabarito. É o que assumi por aqui!!!!!!!!!
Fechando as 19 capitalizações, temos que para "M19" vem:
[tex3]M19 = 9.644,79587*(1,00948879293)^8 + C*[S7][/tex3]
[tex3]M19 = 10.401,71744 + 200,00*[S7][/tex3]
[tex3]S7 = (1,00948879293)*[(1,00948879293)^7 -1] / 0,00948879293[/tex3]
S7 = 7,270787805.
M19 = 10.401,71744 + 1.454,157561 = R$ 11.855,88.
Finalizando, no vigésimo mês, temos o depósito dos últimos R$ 200,00 ao montante anterior, do início do mês, para posterior capitalização de mais 1 mês de investimento!!!!!!!
Entretanto, o resgate do saldo credor do investidor deve ter ocorrido antes de completar mais uma capitalização, pois contando com o período da abertura da conta, já devem perfazer os 20 meses. Com mais 1 capitalização, teríamos 21 meses, o que não vem ao caso!!!!!!!
Logo, no 20º mês, todo o saldo devedor do banco desta conta específica (saldo credor para o cliente investidor, que comprou o suposto título de rendimento, emprestando dinheiro ao banco), foi resgatado antes de nova capitalização (descontínua), sendo o valor recuperado total igual ao montante anterior, do início do mês, com mais o valor mensal de R$ 200,00, constantes, aplicados mês a mês, desde o início do investimento!!!!!!!!
Assim:
[tex3]R = M19 + C[/tex3]
[tex3]R = 11.855,88 + 200,00 = R$ 12.055,88[/tex3]
Letra E....
O enunciado do exercício afirma que um investidor qualquer deu início HOJE a uma poupança, aplicando R$ 200,00 por mês a partir do início do mês seguinte, durante um total de 20 meses, até o resgate pleno do investimento!!!!!!!!!
Chamaremos estes depósitos mensais de R$ 200,00 genericamente de "C"!!!!!!!!!
Passado 1 mês dos primeiros R$ 200,00 depositados, temos o primeiro montante "M1", do primeiro mês de rentabilidade. Assim:
[tex3]M1 = C*(1+i mensal)[/tex3]
O problema afirma que a capitalização dos juros se dará via taxa de 12% ao ano, porém a capitalização é mensal!!!!!!!!
Efetivamente, podemos calcular a taxa mensal como sendo aquela que gera o mesmo montante da taxa anual, em juros compostos. Equacionando, temos:
[tex3]M = C*(1+i mensal)^{12}[/tex3]
E também:
[tex3]M = C*(1+i anual)^1[/tex3]
Para mesmo montante e capital, temos que:
[tex3](1+i mensal)^{12} = (1+i anual)^1[/tex3]
i anual = 12% a.a. = 12% / ano = 0,12 / ano.
Substituindo "i anual" na equação anterior, vem que:
[tex3](1+i mensal)^{12} = (1+0,12)^1[/tex3]
[tex3]1+i mensal = (1,12)^{1/12}[/tex3]
i mensal = 0,00948879293 / mês.
É importante trabalhar com todas as casas decimais e arredondar só ao fim, para não perder precisão dos resultados!!!!!!!!
Voltando para a primeira equação do montante 1, temos que:
[tex3]M1 = C*(1,00948879293)[/tex3]
Ao passar um segundo mês de rentabilidade, temos um montante "M2":
[tex3]M2 = (M1+C)*(1,00948879293)[/tex3]
[tex3]M2 = 1,00948879293M1 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M2 = (1,00948879293)^2C + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M2 = C*[(1,00948879293)^2 + (1,00948879293)][/tex3]
Lembrando que todos os meses teremos a adição de um fator "C", pois o depósito de R$ 200,00 é mensal e constante ao longo dos meses!!!!!!!!
Seguindo para o terceiro mês de rentabilidade:
[tex3]M3 = (M2+C)*(1,00948879293)[/tex3]
[tex3]M3 = 1,00948879293M2+1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M3 = (1,00948879293)^3C + (1,00948879293)^2C + (1,00948879293)C[/tex3]
[tex3]M3 = C*[(1,00948879293)^3 + (1,00948879293)^2 + (1,00948879293)][/tex3]
Note que, de "M1" para "M3", os fatores de capitalização evoluem via Progressão Geométrica (P.G.), com seus termos se somando após cada capitalização!!!!!!!!
Podemos reescrever a última equação em termos da soma dos termos de uma P.G.!!!!!!!!
Assim:
[tex3]M3 = C*[S3][/tex3]
Sendo "S3" a soma dos 3 termos da P.G. na equação em questão!!!!!!!!!
Após 7 meses de rentabilidade, temos acumulados:
[tex3]M7 = C*[S7][/tex3]
Usando a soma de "n" termos de uma P.G.:
[tex3]Sn = a1*(q^n -1) / q-1[/tex3]
[tex3]S7 = (1,00948879293)*[(1,00948879293)^7 -1] / 0,00948879293[/tex3]
Logo, "M7" é calculado por:
[tex3]M7 = 200,00*[(1,00948879293)*[(1,00948879293)^7-1] / 0,00948879293][/tex3]
M7 = R$ 1.454,157561.
No começo do 8º mês de rentabilidade, além dos tradicionais R$ 200,00, tem-se também um depósito adicional de R$ 3.000,00. Assim, passado mais 1 mês de rentabilidade, temos um "M8" dado por:
[tex3]M8 = (1.454,157561 + 200,00 + 3.000,00)*(1,00948879293)[/tex3]
[tex3]M8 = 4.654,157561*(1,00948879293)[/tex3]
Prosseguindo para o montante 9, vem que:
[tex3]M9 = (M8+C)*(1,00948879293)[/tex3]
[tex3]M9 = 1,00948879293M8 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M9 = 4.654,157561*(1,00948879293)^2 + 1,00948879293C[/tex3]
Para o montante 10:
[tex3]M10 = 1,00948879293M9 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M10 = 4.654,157561*(1,00948879293)^3 + (1,00948879293)^2C + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M10 = 4.654,157561*(1,00948879293)^3 + C*[(1,00948879293)^2 + (1,00948879293)][/tex3]
Ao final do 11º mês de rentabilidade, teremos:
[tex3]M11 = 1,00948879293M10 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M11 = 4.654,157561*(1,00948879293)^4 + (1,00948879293)^3C + (1,00948879293)^2C + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M11 = 4.654,157561*(1,00948879293)^4 + C*[(1,00948879293)^3 + (1,00948879293)^2 + (1,00948879293)][/tex3]
M11 = 4.833,337119 + 200,00*3,057293755 = 5.444,79587.
No começo do 12º mês de rentabilidade, além dos tradicionais R$ 200,00, tem-se agora um segundo depósito adicional, mas de R$ 4.000,00. Assim, passado mais 1 mês de rentabilidade, temos agora um "M12" dado por:
[tex3]M12 = (5.444,79587+200,00+4.000,00)*(1,00948879293)[/tex3]
[tex3]M12 = 9.644,79587*(1,00948879293)[/tex3]
Prosseguindo para "M13":
[tex3]M13 = (M12+C)*(1,00948879293)[/tex3]
[tex3]M13 = 1,00948879293M12 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M13 = 9.644,79587*(1,00948879293)^2 + 1,00948879293C[/tex3]
Para "M14":
[tex3]M14 = 1,00948879293M13 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M14 = 9.644,79587*(1,00948879293)^3 + (1,00948879293)^2C + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M14 = 9.644,79587*(1,00948879293)^3 + C*[(1,00948879293)^2 + (1,00948879293)][/tex3]
Com a soma de "n" termos de P.G., podemos reescrever a última equação como:
[tex3]M14 = 9.644,79587*(1,00948879293)^3 + C*[S2][/tex3]
Para "M15":
[tex3]M15 = 1,00948879293M14 + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M15 = 9.644,79587*(1,00948879293)^4 + (1,00948879293)^3C + (1,00948879293)^2C + 1,00948879293C[/tex3]
[tex3]M15 = 9.644,79587*(1,00948879293)^4 + C*[(1,00948879293)^3 + (1,00948879293)^2 + (1,00948879293)][/tex3]
Ou, na expressão da soma de "n" termos da P.G.:
[tex3]M15 = 9.644,79587*(1,00948879293)^4 + C*[S3][/tex3]
A partir de "M13", note que o padrão estabelecido é o de:
M13 ----------- primeiro expoente 2 -------------- S1 (P.G.)
M14 ----------- primeiro expoente 3 -------------- S2 (P.G.)
M15 ----------- primeiro expoente 4 -------------- S3 (P.G.)
M16 ----------- primeiro expoente 5 -------------- S4 (P.G.)
M17 ----------- primeiro expoente 6 -------------- S5 (P.G.)
M18 ----------- primeiro expoente 7 -------------- S6 (P.G.)
M19 ----------- primeiro expoente 8 -------------- S7 (P.G.)
Tendo em vista que o primeiro depósito não ocorreu na data de HOJE, mas apenas no início do mês seguinte, com as capitalizações acontecendo apenas a partir do segundo mês de existência da conta poupança, após o término de 20 meses de abertura da referida conta de aplicação, teremos 19 capitalizações ao invés de 20, já que o primeiro depósito NÃO aconteceu HOJE, mas apenas NO MÊS SEGUINTE ao da abertura da conta!!!!!!!
O enunciado do problema traria maior coerência acerca de quando a conta foi iniciada/aberta, se no início, durante ou fim do mês referente a HOJE para que pudéssemos calcular com exatidão o valor final de 20 meses de conta poupança, caso trouxesse a data exata daquilo que chama de HOJE, como por exemplo, dia 14/03/X1!!!!!!!!
Essa flexibilização do texto atrapalha os cálculos pois, uma situação consiste na data de hoje ser 31/03/X1 para aplicar R$ 200,00 amanhã, que coincide com o mês seguinte!!!!!!!!
Outra situação, bem diferente na contagem de tempo, consiste na data de hoje ser 01/03/X1 para aplicar R$ 200,00 no mês seguinte que, neste caso, não será amanhã, mas sim daqui 1 mês!!!!!!!!
O jeito para resolver tal impasse consiste em assumir que, por "mês seguinte" entende-se "daqui a 1 mês" exatos e ver se a resposta confere com a do gabarito. É o que assumi por aqui!!!!!!!!!
Fechando as 19 capitalizações, temos que para "M19" vem:
[tex3]M19 = 9.644,79587*(1,00948879293)^8 + C*[S7][/tex3]
[tex3]M19 = 10.401,71744 + 200,00*[S7][/tex3]
[tex3]S7 = (1,00948879293)*[(1,00948879293)^7 -1] / 0,00948879293[/tex3]
S7 = 7,270787805.
M19 = 10.401,71744 + 1.454,157561 = R$ 11.855,88.
Finalizando, no vigésimo mês, temos o depósito dos últimos R$ 200,00 ao montante anterior, do início do mês, para posterior capitalização de mais 1 mês de investimento!!!!!!!
Entretanto, o resgate do saldo credor do investidor deve ter ocorrido antes de completar mais uma capitalização, pois contando com o período da abertura da conta, já devem perfazer os 20 meses. Com mais 1 capitalização, teríamos 21 meses, o que não vem ao caso!!!!!!!
Logo, no 20º mês, todo o saldo devedor do banco desta conta específica (saldo credor para o cliente investidor, que comprou o suposto título de rendimento, emprestando dinheiro ao banco), foi resgatado antes de nova capitalização (descontínua), sendo o valor recuperado total igual ao montante anterior, do início do mês, com mais o valor mensal de R$ 200,00, constantes, aplicados mês a mês, desde o início do investimento!!!!!!!!
Assim:
[tex3]R = M19 + C[/tex3]
[tex3]R = 11.855,88 + 200,00 = R$ 12.055,88[/tex3]
Letra E....
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