Ensino Superior ⇒ Um Curso de Cálculo - Exercício 3 - p.159 Tópico resolvido

[Nekololikuro]

3. Calcule
[tex3]g) \lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g) \lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}[/tex3]

Consegui desenvolver mas não consegui passar de uma parte. Se puder resolver passo a passo para que eu possa ver o que está errado em minha solução. Obrigado

Resposta

---

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

[Daleth]

Nesse tipo de questão é sempre bom começar pelo conjugado:

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1} . \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}{ \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-1} . \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}{ \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sqrt{x}-(x-1)}{ \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sqrt{x}-(x-1)}{ \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}}[/tex3]

Agora com uma simples manipulação algébrica vamos dividir tudo por [tex3]\sqrt{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x}[/tex3]

, veja:

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}}[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{\frac{x+\sqrt{x}}{x}}+\sqrt{\frac{x-1}{x}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{\frac{x+\sqrt{x}}{x}}+\sqrt{\frac{x-1}{x}}}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x}}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x}}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}[/tex3]

Sabe-se que [tex3]\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex3]

, então:

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}}[/tex3]

Substituindo [tex3]x=\infty[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\infty[/tex3]

, temos:

[tex3]\frac{1-0}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}[/tex3]

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[tex3]\frac{1-0}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}[/tex3]