IME / ITA ⇒ Simulado ITA) Valor máximo Tópico resolvido

[careca]

Sejam 𝒂, 𝒃, 𝒄 e 𝒅 números reais tais que 𝒂² + 𝒃² = 𝟐𝟓 e 𝒄² + 𝒅² = 𝟏𝟔, além de 𝒂𝒄 − 𝒃𝒅 = 𝟐𝟎. Então o valor máximo de 𝒂𝒅 é:

(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 15
(E) 18

Resposta

---

Gabarito = (B)

[FelipeMartin]

[tex3]z_1 = a+bi, |z_1| = 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z_1 = a+bi, |z_1| = 5[/tex3]

[tex3]z_2 = c+di, |z_2| = 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z_2 = c+di, |z_2| = 4[/tex3]

[tex3]\Re (z_1z_2) = 20[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Re (z_1z_2) = 20[/tex3]

, como [tex3]|z_1z_2| = 20[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|z_1z_2| = 20[/tex3]

, então [tex3]z_1z_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z_1z_2[/tex3]

é um número real, no caso, [tex3]z_1z_2 = 20[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z_1z_2 = 20[/tex3]

mesmo. A parte imaginária dele é: [tex3]ad + bc = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ad + bc = 0[/tex3]

, logo [tex3]ad = -bc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ad = -bc[/tex3]

.

Agora pra maximizar acho que tem que fazer conta, não vejo outra forma:

[tex3]z_1 = 5 \cis (\alpha) \implies a = 5 \cos (\alpha)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z_1 = 5 \cis (\alpha) \implies a = 5 \cos (\alpha)[/tex3]

, [tex3]z_2 = 4 \cis (-\alpha) \implies d = 4 \sen (-\alpha)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z_2 = 4 \cis (-\alpha) \implies d = 4 \sen (-\alpha)[/tex3]

então [tex3]ad = -20 \sen (\alpha) \cos (\alpha) = -10 \sen (2\alpha)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ad = -20 \sen (\alpha) \cos (\alpha) = -10 \sen (2\alpha)[/tex3]

. O valor máximo deve ser 10 então pra [tex3]\alpha = -\frac{\pi}4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha = -\frac{\pi}4[/tex3]

[careca]

Obrigado, solução genial!!!