Olimpíadas ⇒ (Índia) Trigonometria Tópico resolvido

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Um hexágono está inscrito em um círculo. Cinco de seus lados medem 81 e o sexto, denotado por AB, mede 31. Seja S a soma das medidas das três diagonais que podem ser traçadas a partir do vértice A. Então, a soma dos algarismos de S vale:
a) 12
b) 15
c) 18
d) 20
e) 24

Resposta

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B.
Minha dificuldade maior é encontrar AD. Tendo AD, posso encontrar as outras duas usando Ptolomeu e Hiparco. Pensei em considerar que <DAE = 90º e que, consequentemente, AD é diâmetro. Mas não bateu com o gabarito.

[Tassandro]

Zhadnyy,
Arcos iguais determinam cordas iguais. De congruências de triângulos, podemos obter que
[tex3]AC=BF=x,AD=BE=y[/tex3]

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[tex3]AC=BF=x,AD=BE=y[/tex3]

e [tex3]AE=BD=z[/tex3]

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[tex3]AE=BD=z[/tex3]

20211109_075403.jpg (18.65 KiB) Exibido 779 vezes

Ptolomeu em ABCD:
[tex3]81y+31\cdot81=xz[/tex3]

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[tex3]81y+31\cdot81=xz[/tex3]

Ptolomeu em ACDF:
[tex3]xz+81^2=y^2[/tex3]

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[tex3]xz+81^2=y^2[/tex3]

Dessas duas equações, vem que
[tex3]y^2-81y-12\cdot81=0\to y=144[/tex3]

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[tex3]y^2-81y-12\cdot81=0\to y=144[/tex3]

Ptolomeu em ADEF:
[tex3]81y+81^2=z^2\to z=135\to x=105[/tex3]

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[tex3]81y+81^2=z^2\to z=135\to x=105[/tex3]

Logo, [tex3]x+y+z=384[/tex3]

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[tex3]x+y+z=384[/tex3]

A soma pedida vale [tex3]3+8+4=15[/tex3]

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[tex3]3+8+4=15[/tex3]