a)8
b)9
c)10
d)11
e)11
Resposta
b
IME / ITA ⇒ (Simuado-Ime/Ita) Equação
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2021
15
08:11
(Simuado-Ime/Ita) Equação
A equação 2000 [tex3]x^{6}[/tex3]
+100 [tex3]x^{5}[/tex3]
+10 [tex3]x^{3}[/tex3]
+x-2=0 tem apenas duas raízes reais [tex3]\alpha [/tex3]
e [tex3]\theta [/tex3]
.Então o valor de 20-[tex3]\sqrt{\alpha ^{2}+\theta ^{2}}[/tex3]
é igual a:
a)8
b)9
c)10
d)11
e)11
b
a)8
b)9
c)10
d)11
e)11
b
Jun 2021
20
20:23
Re: (Simuado-Ime/Ita) Equação
[tex3]2000x^6 + 100x^5 + 10x^3 + x - 2 = 0 [/tex3]
[tex3]\rightarrow raízes:\alpha , \theta \in \mathbb{R} [/tex3]
[tex3]\rightarrow 20\sqrt[2]{\alpha ^2 + \theta ^2} = ?[/tex3]
Fatorando o polinômio:
[tex3]2000x^6 + 100x^5 + 0x^4 + 10x^3 + 0x^2 + x - 2 = 0[/tex3]
[tex3]Ax^6\rightarrow Bx^5\rightarrow Cx^4\rightarrow Dx^3\rightarrow Ex^2\rightarrow Fx\rightarrow G[/tex3]
[tex3]a_{1}x^n\rightarrow bx^n\rightarrow cx^n\rightarrow d_{1}x^n\rightarrow ex^2\rightarrow fx\rightarrow g_{1}[/tex3]
[tex3]a_{2}x^n\rightarrow bx^n\rightarrow cx^n\rightarrow d_{2}x^n\rightarrow ex^2\rightarrow fx\rightarrow g_{2}[/tex3]
Temos as seguintes relações:
[tex3](I) a_{1}x^na_{2}x^n = A = 2000x^6[/tex3]
[tex3](II) a_{1}x^nd_{2}x^n = B = 100x^5[/tex3]
[tex3](III) d_{2}x^ng_{1} = F = x[/tex3]
[tex3](IV) d_{1}x^nd_{2}x^n = D = 10x^3[/tex3]
[tex3](V) g_{1}g_{2} = G = -2[/tex3]
Concluímos:
De [tex3](III) d_{2}x^ng_{1} = x[/tex3] [tex3]\rightarrow g_{1} = 1; d_{2}x^n = 1x[/tex3]
De [tex3](IV) d_{1}x^nd_{2}x^n = 10x^3\rightarrow d_{1}x^n(1x) = 10x^3\rightarrow d_{1}x^n = 10x^2[/tex3]
De [tex3](V) g_{1}g_{2} = -2\rightarrow g_{2} = -2[/tex3]
De [tex3](II) a_{1}x^nd_{2}x^n = 100x^5\rightarrow a_{1}x^n(1x) = 100x^5\rightarrow a_{1}x^n = 100x^4[/tex3]
De [tex3](I) a_{1}x^na_{2}x^n = 2000x^6\rightarrow 100x^4a_{2}x^n = 2000x^6\rightarrow a_{2}x^n = 20x^2[/tex3]
[tex3]2000x^6 + 100x^5 + 0x^4 + 10x^3 + 0x^2 + x - 2 = 0[/tex3]
[tex3]100x^4\rightarrow bx^n\rightarrow cx^n\rightarrow 10x^2\rightarrow ex^2\rightarrow fx\rightarrow 1[/tex3]
[tex3]020x^2\rightarrow bx^n\rightarrow cx^n\rightarrow 01x\rightarrow ex^2\rightarrow fx\rightarrow -2[/tex3]
Portanto: [tex3]2000x^6 + 100x^5 + 10x^3 + x - 2 = 0 \rightarrow (100x^4 + 10x^2 + 1)(20x^2 + x -2) = 0[/tex3]
[tex3]100x^4 + 10x^2 + 1 = 0[/tex3] Biquadrada
[tex3]x^2 = \frac{-10\pm \sqrt{100 - 400}}{200}[/tex3] não serve, 4 raízes complexas
[tex3]20x^2 + x -2 = 0[/tex3]
[tex3]x = \frac{-1\pm \sqrt{1 + 160}}{40}[/tex3]
[tex3]\alpha = \frac{-1 + \sqrt{161}}{40}\rightarrow \alpha ^2 = \frac{ 162 - 2\sqrt{161}} {1600}[/tex3]
[tex3]\theta = \frac{-1 - \sqrt{161}}{40}\rightarrow \theta = {-1}\frac{1 + \sqrt{161}}{40}\rightarrow \theta ^2 = \frac{ 162 + 2\sqrt{161}} {1600} [/tex3]
[tex3]\rightarrow 20\sqrt[2]{\alpha ^2 + \theta ^2} = ?[/tex3]
[tex3]\rightarrow 20\sqrt{\alpha ^2 + \theta ^2} = 20\sqrt{\frac{ 162 - 2\sqrt{161}} {1600} + \frac{ 162 + 2\sqrt{161}} {1600}} \rightarrow 20\sqrt{\frac{324} {1600}}\rightarrow (20)(\frac{18}{40})[/tex3]
[tex3] \rightarrow 20\sqrt{\alpha ^2 + \theta ^2} = 9[/tex3] letra b
Fatorando o polinômio:
[tex3]2000x^6 + 100x^5 + 0x^4 + 10x^3 + 0x^2 + x - 2 = 0[/tex3]
[tex3]Ax^6\rightarrow Bx^5\rightarrow Cx^4\rightarrow Dx^3\rightarrow Ex^2\rightarrow Fx\rightarrow G[/tex3]
[tex3]a_{1}x^n\rightarrow bx^n\rightarrow cx^n\rightarrow d_{1}x^n\rightarrow ex^2\rightarrow fx\rightarrow g_{1}[/tex3]
[tex3]a_{2}x^n\rightarrow bx^n\rightarrow cx^n\rightarrow d_{2}x^n\rightarrow ex^2\rightarrow fx\rightarrow g_{2}[/tex3]
Temos as seguintes relações:
[tex3](I) a_{1}x^na_{2}x^n = A = 2000x^6[/tex3]
[tex3](II) a_{1}x^nd_{2}x^n = B = 100x^5[/tex3]
[tex3](III) d_{2}x^ng_{1} = F = x[/tex3]
[tex3](IV) d_{1}x^nd_{2}x^n = D = 10x^3[/tex3]
[tex3](V) g_{1}g_{2} = G = -2[/tex3]
Concluímos:
De [tex3](III) d_{2}x^ng_{1} = x[/tex3] [tex3]\rightarrow g_{1} = 1; d_{2}x^n = 1x[/tex3]
De [tex3](IV) d_{1}x^nd_{2}x^n = 10x^3\rightarrow d_{1}x^n(1x) = 10x^3\rightarrow d_{1}x^n = 10x^2[/tex3]
De [tex3](V) g_{1}g_{2} = -2\rightarrow g_{2} = -2[/tex3]
De [tex3](II) a_{1}x^nd_{2}x^n = 100x^5\rightarrow a_{1}x^n(1x) = 100x^5\rightarrow a_{1}x^n = 100x^4[/tex3]
De [tex3](I) a_{1}x^na_{2}x^n = 2000x^6\rightarrow 100x^4a_{2}x^n = 2000x^6\rightarrow a_{2}x^n = 20x^2[/tex3]
[tex3]2000x^6 + 100x^5 + 0x^4 + 10x^3 + 0x^2 + x - 2 = 0[/tex3]
[tex3]100x^4\rightarrow bx^n\rightarrow cx^n\rightarrow 10x^2\rightarrow ex^2\rightarrow fx\rightarrow 1[/tex3]
[tex3]020x^2\rightarrow bx^n\rightarrow cx^n\rightarrow 01x\rightarrow ex^2\rightarrow fx\rightarrow -2[/tex3]
Portanto: [tex3]2000x^6 + 100x^5 + 10x^3 + x - 2 = 0 \rightarrow (100x^4 + 10x^2 + 1)(20x^2 + x -2) = 0[/tex3]
[tex3]100x^4 + 10x^2 + 1 = 0[/tex3] Biquadrada
[tex3]x^2 = \frac{-10\pm \sqrt{100 - 400}}{200}[/tex3] não serve, 4 raízes complexas
[tex3]20x^2 + x -2 = 0[/tex3]
[tex3]x = \frac{-1\pm \sqrt{1 + 160}}{40}[/tex3]
[tex3]\alpha = \frac{-1 + \sqrt{161}}{40}\rightarrow \alpha ^2 = \frac{ 162 - 2\sqrt{161}} {1600}[/tex3]
[tex3]\theta = \frac{-1 - \sqrt{161}}{40}\rightarrow \theta = {-1}\frac{1 + \sqrt{161}}{40}\rightarrow \theta ^2 = \frac{ 162 + 2\sqrt{161}} {1600} [/tex3]
[tex3]\rightarrow 20\sqrt[2]{\alpha ^2 + \theta ^2} = ?[/tex3]
[tex3]\rightarrow 20\sqrt{\alpha ^2 + \theta ^2} = 20\sqrt{\frac{ 162 - 2\sqrt{161}} {1600} + \frac{ 162 + 2\sqrt{161}} {1600}} \rightarrow 20\sqrt{\frac{324} {1600}}\rightarrow (20)(\frac{18}{40})[/tex3]
[tex3] \rightarrow 20\sqrt{\alpha ^2 + \theta ^2} = 9[/tex3] letra b
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