3+ 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
Ensino Fundamental ⇒ Quadrado. Tópico resolvido
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Dez 2020
01
03:04
Quadrado.
Calcular a relação de áreas sombreadas . se ABCD é um quadrado.
3+ 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
Resposta
3+ 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
- Anexos
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- 20201102_085935.jpg (33.7 KiB) Exibido 2396 vezes
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Dez 2020
01
11:21
Re: Quadrado.
Nomeando alguns fatores:
Lado do quadrado [tex3]"l"[/tex3]
Raio da circunferência menor [tex3]"r"[/tex3]
Ponto de tangência da circunferência menor com a diagonal do AC do quadrado [tex3]"P"[/tex3]
Centro da circunferência menor: [tex3]"O"[/tex3]
Área sombreada menor : [tex3]S_1[/tex3]
Área sombreada maior : [tex3]S_2[/tex3]
Por propriedades de tangência, o vértice C do quadrado está a uma igual distância do vértice D e do ponto P. Logo:
[tex3]CP = l\\AP=l\sqrt{2}-l=l(\sqrt{2}-1)[/tex3]
Ligando o centro da circunferência menor com o ponto de tangencia desta com a diagonal do quadrado, temos um triângulo retângulo isósceles [tex3]\Delta APO[/tex3] de onde podemos tirar a seguinte relação:
[tex3]r=l(\sqrt{2}-1)\\r^2=l^2(3-2\sqrt{2})[/tex3]
Cálculo de [tex3]S_1[/tex3]
[tex3]S_1[/tex3] vai ser dado pela área do triângulo retângulo isósceles menos a área do setor circular de [tex3]45º[/tex3] (ângulo do triângulo isósceles). Logo, temos:
[tex3]\boxed{S_1=\left(\frac{{r²}}{2}\right)-\left(\frac{\pi r²}{8}\right)}[/tex3]
Cálculo de [tex3]S_2[/tex3]
[tex3]S_2[/tex3] vai ser dado pela área do triângulo [tex3]\Delta CPD[/tex3] + a área do triângulo [tex3]\Delta OPD[/tex3] - a área do setor circular de [tex3]135º[/tex3] (suplementar do de 45º). Logo:
[tex3]\boxed{S_2=\left(\frac{l^2sen45º}{2}\right)+\left(\frac{r^2sen135º}{2}\right)-\left(\frac{3\pi r²}{8}\right)}[/tex3]
Fazendo [tex3]\left(\frac{S_2}{S_1}\right)[/tex3] , e simplificando o que conseguirmos, chegamos em algo diferente do gabarito que você deu, se souber o que eu errei por favor me responde ai em baixo
Lado do quadrado [tex3]"l"[/tex3]
Raio da circunferência menor [tex3]"r"[/tex3]
Ponto de tangência da circunferência menor com a diagonal do AC do quadrado [tex3]"P"[/tex3]
Centro da circunferência menor: [tex3]"O"[/tex3]
Área sombreada menor : [tex3]S_1[/tex3]
Área sombreada maior : [tex3]S_2[/tex3]
Por propriedades de tangência, o vértice C do quadrado está a uma igual distância do vértice D e do ponto P. Logo:
[tex3]CP = l\\AP=l\sqrt{2}-l=l(\sqrt{2}-1)[/tex3]
Ligando o centro da circunferência menor com o ponto de tangencia desta com a diagonal do quadrado, temos um triângulo retângulo isósceles [tex3]\Delta APO[/tex3] de onde podemos tirar a seguinte relação:
[tex3]r=l(\sqrt{2}-1)\\r^2=l^2(3-2\sqrt{2})[/tex3]
Cálculo de [tex3]S_1[/tex3]
[tex3]S_1[/tex3] vai ser dado pela área do triângulo retângulo isósceles menos a área do setor circular de [tex3]45º[/tex3] (ângulo do triângulo isósceles). Logo, temos:
[tex3]\boxed{S_1=\left(\frac{{r²}}{2}\right)-\left(\frac{\pi r²}{8}\right)}[/tex3]
Cálculo de [tex3]S_2[/tex3]
[tex3]S_2[/tex3] vai ser dado pela área do triângulo [tex3]\Delta CPD[/tex3] + a área do triângulo [tex3]\Delta OPD[/tex3] - a área do setor circular de [tex3]135º[/tex3] (suplementar do de 45º). Logo:
[tex3]\boxed{S_2=\left(\frac{l^2sen45º}{2}\right)+\left(\frac{r^2sen135º}{2}\right)-\left(\frac{3\pi r²}{8}\right)}[/tex3]
Fazendo [tex3]\left(\frac{S_2}{S_1}\right)[/tex3] , e simplificando o que conseguirmos, chegamos em algo diferente do gabarito que você deu, se souber o que eu errei por favor me responde ai em baixo
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Dez 2020
01
13:58
Re: Quadrado.
Jvrextrue13, conferi agora no livro e realmente o gabarito é esse mesmo.
na hora de dividir as áreas você deixou todas as expressões em função de uma letra apenas , tipo todas as áreas em função de l (do lado do quadrado )?
calculou o valor do raio em função de l ?
na hora de dividir as áreas você deixou todas as expressões em função de uma letra apenas , tipo todas as áreas em função de l (do lado do quadrado )?
calculou o valor do raio em função de l ?
Editado pela última vez por geobson em 01 Dez 2020, 14:05, em um total de 1 vez.
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Dez 2020
01
14:16
Re: Quadrado.
Sim, eu fiz a razão entre as áreas e deixei tudo em função de r² ( com auxílio da primeira equação q achei [tex3]r=l(\sqrt{2}-1)[/tex3] ) ai deu pra cancelar e ficou puramente numérica. O problema é q ainda aparece o "[tex3]\pi [/tex3] " kkkkkkkkk e tbm curiosamente aparece [tex3](3+2\sqrt{2})[/tex3] tbm. Daqui a pouco eu volto e reviso minhas contas, pra ver algum possível errogeobson escreveu: ↑01 Dez 2020, 13:58 Jvrextrue13, conferi agora no livro e realmente o gabarito é esse mesmo.
na hora de dividir as áreas você deixou todas as expressões em função de uma letra apenas , tipo todas as áreas em função de l (do lado do quadrado )?
calculou o valor do raio em função de l ?
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Jan 2021
15
17:36
Re: Quadrado.
NigrumCibum, a que resultado você chegou ? posso verificar as outras alternativas pode ser divergência de gabarito.
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Jan 2021
15
22:37
Re: Quadrado.
Pelo que entendi, a questão pede a relação entre as áreas e não a razão entre elas.
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Jan 2021
15
22:45
Re: Quadrado.
A relação é exatamente isso. Acho que este gabarito está quebrado. Vou fazer aqui...
Editado pela última vez por NigrumCibum em 15 Jan 2021, 22:46, em um total de 1 vez.
Arrêter le temps!
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Jan 2021
15
23:26
Re: Quadrado.
O gabarito está errado e a resposta do cara acima correta
Editado pela última vez por NigrumCibum em 16 Jan 2021, 09:00, em um total de 1 vez.
Arrêter le temps!
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