Olimpíadas

Seja [tex3]ABCD[/tex3] um quadrilátero convexo tal que suas diagonais [tex3]\overline{AC}[/tex3] e [tex3]\overline{BD}[/tex3] são perpendiculares. Seja [tex3]P[/tex3] a interseção de [tex3]\overline{AC}[/tex3] e [tex3]\overline{BD}[/tex3] e seja [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]\overline{AB}[/tex3] . Mostre que o quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] é inscritível se, e somente se, as retas [tex3]\overline{PM}[/tex3] e [tex3]\overline{CD}[/tex3] são perpendiculares.

Seja [tex3]T = PM \cap DC.[/tex3]

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Como [tex3]\angle APB= 90 \degree[/tex3] temos que [tex3]verde+vermelho = 90 \degree[/tex3]

Note que [tex3]\angle PDT = \angle PAB = verde[/tex3]
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[tex3]\angle PDT = \angle PAB = verde[/tex3]
pois ambos "enxergam" o mesmo arco ( [tex3]{CB})[/tex3]
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[tex3]{CB})[/tex3]
. Analogamente [tex3]\angle ABP = \angle ACD = vermelho;[/tex3]
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[tex3]\angle ABP = \angle ACD = vermelho;[/tex3]
Como a mediana relativa a hipotenusa mede metade da hipotenusa o triângulo [tex3]BMP[/tex3]
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[tex3]BMP[/tex3]
é isósceles de base [tex3]PB[/tex3]
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[tex3]PB[/tex3]
então [tex3]\angle MPB = \angle MBP=vermelho.[/tex3]
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[tex3]\angle MPB = \angle MBP=vermelho.[/tex3]
Da mesma forma [tex3]\angle APM = \angle PAM = verde;[/tex3]
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[tex3]\angle APM = \angle PAM = verde;[/tex3]
Além disso [tex3]\angle DPT = \angle MPB = vermelho[/tex3]
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[tex3]\angle DPT = \angle MPB = vermelho[/tex3]
pois são opostos pelo vértice. De modo análogo [tex3]\angle TPC = \angle APM=verde;[/tex3]
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[tex3]\angle TPC = \angle APM=verde;[/tex3]

Dessa forma [tex3]\angle TDP + \angle DPT=verde+vermelho= 90 \degree[/tex3] e logo [tex3]\angle DTP = 90 \degree[/tex3] como queríamos demonstrar (analogamente, pode-se demonstrar o mesmo observando o triângulo [tex3]TPC[/tex3] ).

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