Física I ⇒ (Rufino) Energia Mecânica

[Deleted User 23699]

Uma cunha, cuja massa é M, situa-se num plano horizontal absolutamente liso. Sobre a cunha encontra-se uma viga de massa m. A viga, sob a ação da força da gravidade, desliza pela cunha sem atrito. Considerando que no momento inicial o sistema encontrava-se em repouso, determinar a velocidade da cunha, quando a viga desce no sentido vertical a uma altura h.

Resposta

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[tex3]v=\sqrt{2gh}\sqrt{1-\frac{1}{1+\frac{M}{m}+\frac{m}{M}(1+\frac{M}{m})^2tg^2\alpha}}[/tex3]

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[tex3]v=\sqrt{2gh}\sqrt{1-\frac{1}{1+\frac{M}{m}+\frac{m}{M}(1+\frac{M}{m})^2tg^2\alpha}}[/tex3]

[Tassandro]

Zhadnyy,
Não sei como simplificar o que achei para chegar a esse gabarito, mas o que fiz está adequado.
Seja v a velocidade final do bloco e u a velocidade final da cunha. Note que a velocidade do bloco não é paralela à inclinação da cunha, então, seja v' a componente dessa velocidade v na direção da inclinação da cunha. Pela conservação do momento linear no eixo x, vale que
[tex3]Mu=mv_x\tag*{}[/tex3]

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[tex3]Mu=mv_x\tag*{}[/tex3]

Note que [tex3]v_x=v'\cosα-u[/tex3]

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[tex3]v_x=v'\cosα-u[/tex3]

e [tex3]v'\senθ=v_y[/tex3]

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[tex3]v'\senθ=v_y[/tex3]

Pela conservação da energia mecânica
[tex3]mgh=\frac{mv^2}2+\frac{Mu^2}2\tag*{}[/tex3]

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[tex3]mgh=\frac{mv^2}2+\frac{Mu^2}2\tag*{}[/tex3]

Agora vamos achar [tex3]v^2[/tex3]

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[tex3]v^2[/tex3]

em termos de u
[tex3]\frac{mv^2}2=\frac{mv_x^2}2+\frac{mv_y^2}2=\frac{m(v'\cosα-u)^2}2+\frac{m(v'\senα)^2}2=\frac{mv'^2}2-\frac{(m+2M)u^2}2\\
\frac{mv^2}2+\frac{Mu^2}2=\frac{mv'^2}2-\frac{(m+M)u^2}2\tag*{}[/tex3]

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[tex3]\frac{mv^2}2=\frac{mv_x^2}2+\frac{mv_y^2}2=\frac{m(v'\cosα-u)^2}2+\frac{m(v'\senα)^2}2=\frac{mv'^2}2-\frac{(m+2M)u^2}2\\
\frac{mv^2}2+\frac{Mu^2}2=\frac{mv'^2}2-\frac{(m+M)u^2}2\tag*{}[/tex3]

Agora, da conservação do momento linear, temos que [tex3]v'=\frac{(m+M)u}{m\cosα}[/tex3]

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[tex3]v'=\frac{(m+M)u}{m\cosα}[/tex3]

, assim,
[tex3]mgh=\frac{m(m+M)^2u^2}{2m^2\cos^2α}-\frac{(m+m)u^2}2=u^2\[\frac{(m+M)(m+M-m\cos^2α)}{2m\cos^2α}\]\implies\\
u^2=\frac{2m^2gh\cos^2α}{(m+M)(M+m\sen^2α)}\therefore u=\(\frac{2m^2gh\cos^2α}{(m+M)(M+m\sen^2α)}\)^{\frac12}[/tex3]

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[tex3]mgh=\frac{m(m+M)^2u^2}{2m^2\cos^2α}-\frac{(m+m)u^2}2=u^2\[\frac{(m+M)(m+M-m\cos^2α)}{2m\cos^2α}\]\implies\\
u^2=\frac{2m^2gh\cos^2α}{(m+M)(M+m\sen^2α)}\therefore u=\(\frac{2m^2gh\cos^2α}{(m+M)(M+m\sen^2α)}\)^{\frac12}[/tex3]

Aí o Rufino complicou ainda mais a nossa vida botando um gabarito desses