Ensino Superior ⇒ Pré calculo: funções Tópico resolvido

[orimatla]

Para reais dados a e b, com a [tex3]\neq 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\neq 0 [/tex3]

, considere a função afim f: [tex3]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

, definida por f(x) = ax + b. Se (a_k)_{k[tex3]\geq 1[/tex3]} é uma PA de razão r, prove que a sequência (b_k)_{k[tex3]\geq 1[/tex3]}, dada para k[tex3]\geq 1[/tex3]

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[tex3]\geq 1[/tex3]

inteiro por b_k = f(a_k), é uma PA de razão ar.

[mcarvalho]

Boa tarde,

A sequência (i) [tex3]a_1,a_2..a_n[/tex3]

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[tex3]a_1,a_2..a_n[/tex3]

está em PA de razão r, então (i) pode ser reescrita como [tex3]a_1,(a_1+r),...,(a_1+(n-1)r)[/tex3]

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[tex3]a_1,(a_1+r),...,(a_1+(n-1)r)[/tex3]

.

A sequência (ii) [tex3]b_1,b_2..b_n[/tex3]

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[tex3]b_1,b_2..b_n[/tex3]

também está em PA, e como sabemos, cada termo [tex3]b_k=f(a_k)=a\cdot a_k+b[/tex3]

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[tex3]b_k=f(a_k)=a\cdot a_k+b[/tex3]

, portanto (ii) pode ser reescrita como [tex3](a\cdot a_1+b),(a\cdot a_2+b),...,(a\cdot a_n+b)[/tex3]

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[tex3](a\cdot a_1+b),(a\cdot a_2+b),...,(a\cdot a_n+b)[/tex3]

.

Mas como [tex3]a_1..a_n[/tex3]

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[tex3]a_1..a_n[/tex3]

satisfazem a PA de razão r, podemos trabalhar (ii):
[tex3](a\cdot a_1+b),(a\cdot(a_1+r)+b),(a\cdot(a_1+2r)+b),...,(a\cdot (a_1+(n-1)r)+b)\\(a\cdot a_1+b),(a\cdot a_1+ar+b),(a\cdot a_1+2ar+b),...,(a\cdot a_1+a(n-1)r+b)[/tex3]

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[tex3](a\cdot a_1+b),(a\cdot(a_1+r)+b),(a\cdot(a_1+2r)+b),...,(a\cdot (a_1+(n-1)r)+b)\\(a\cdot a_1+b),(a\cdot a_1+ar+b),(a\cdot a_1+2ar+b),...,(a\cdot a_1+a(n-1)r+b)[/tex3]

De fato, a PA (ii) tem razão [tex3]ar[/tex3]

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[tex3]ar[/tex3]

, c.q.d.

[orimatla]

Obrigado pela ajuda, valeu!!!!