Olimpíadas ⇒ (POTI) Contagem II Tópico resolvido

[leo890]

Problema 10. Em uma festa havia 6 homens e 4 mulheres. De quantos modos podemos
formar 3 pares como essas pessoas?
RES:

Resposta

---

[tex3]\frac{(6 × 5 × 4) × (4 × 3 × 2)}{3!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(6 × 5 × 4) × (4 × 3 × 2)}{3!}[/tex3]

[MateusQqMD]

Olá, leo890

Deixarei duas soluções para esse problema.

1ª Solução:

Podemos escolher de [tex3]C_6^3 = 20[/tex3]

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[tex3]C_6^3 = 20[/tex3]

modos os três homens e de [tex3]C_4^3 = 4[/tex3]

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[tex3]C_4^3 = 4[/tex3]

modos as três mulheres.

Agora, perceba que será estabelecida uma relação bijetiva entre os homens e as mulheres, isso pode ser feito de [tex3]3![/tex3]

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[tex3]3![/tex3]

modos.

A resposta é [tex3]20 \times 4 \times 3! = 480.[/tex3]

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[tex3]20 \times 4 \times 3! = 480.[/tex3]

[MateusQqMD]

2ª Solução:

Há [tex3]6[/tex3]

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[tex3]6[/tex3]

modos de escolher o homem que formará o primeiro par; depois disso, teremos [tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

modos de escolher o homem que formará o segundo par e, em seguida, [tex3]4[/tex3]

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[tex3]4[/tex3]

modos de escolher o homem que formará o terceiro par. De maneira análoga, teremos [tex3]4[/tex3]

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[tex3]4[/tex3]

modos de escolher a mulher do primeiro par, .. etc. Entretanto, consideramos a divisão [tex3]ab/cd/ef[/tex3]

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[tex3]ab/cd/ef[/tex3]

como sendo diferente da divisão [tex3]cd/ef/ab,[/tex3]

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[tex3]cd/ef/ab,[/tex3]

isto é, cada divisão foi contada [tex3]3![/tex3]

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[tex3]3![/tex3]

vezes.

A resposta é [tex3]\frac{6\times5\times4 \times 4 \times 3 \times 2}{3!} = 480.[/tex3]

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[tex3]\frac{6\times5\times4 \times 4 \times 3 \times 2}{3!} = 480.[/tex3]

[leo890]

2ª Solução:

Há [tex3]6[/tex3]

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[tex3]6[/tex3]

modos de escolher o homem que formará o primeiro par; depois disso, teremos [tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

modos de escolher o homem que formará o segundo par e, em seguida, [tex3]4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4[/tex3]

modos de escolher o homem que formará o terceiro par. De maneira análoga, teremos [tex3]4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4[/tex3]

modos de escolher a mulher do primeiro par, .. etc. Entretanto, consideramos a divisão [tex3]ab/cd/ef[/tex3]

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[tex3]ab/cd/ef[/tex3]

como sendo diferente da divisão [tex3]cd/ef/ab,[/tex3]

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[tex3]cd/ef/ab,[/tex3]

isto é, cada divisão foi contada [tex3]3![/tex3]

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[tex3]3![/tex3]

vezes.

A resposta é [tex3]\frac{6\times5\times4 \times 4 \times 3 \times 2}{3!} = 480.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{6\times5\times4 \times 4 \times 3 \times 2}{3!} = 480.[/tex3]

Muito obrigado pela atenção!