Seja [tex3]g(X)[/tex3]
e [tex3]r[/tex3]
o quociente e resto, respectivamente, da divisão de [tex3]p(X)[/tex3]
por [tex3](X-1),[/tex3]
então
[tex3]p(X) = g(X)(X-1) + r(X) \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, X^3 -4X^2 +X +6 = g(X) (X-1) + r,[/tex3]
fazendo [tex3]X =1,[/tex3]
encontramos
[tex3]1^3 - 4(1)^2 +1 + 6 = g(1)(1-1) + r \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \boxed{r = 4 }[/tex3]
Como [tex3]4[/tex3]
é raiz dupla do polinômio [tex3]q(X),[/tex3]
podemos escrever
[tex3]q(X) = (X-X_1)(X-4)^2,[/tex3]
em que [tex3]X_1[/tex3]
é a raiz não conhecida.
Daí, segue que
[tex3](X-X_1)(X-4)^2 = X^3 - 9X^2 + mX + n \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, X^3 + (-X_1 -8)X^2 + (8X_1 + 16)X - 16X_1 = X^3 - 9X^2 + mX + n,[/tex3]
da igualdade entre polinômios,
[tex3](-X_1 -8) = - 9 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \boxed{X_1 = 1}[/tex3]
Logo,
[tex3]q(X) = (X-1)(X-4)^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, q(X) = X^3 -9X^2+24X - 16[/tex3]
[tex3]\therefore \quad m + n = 24 - 16 = 8.[/tex3]