[tex3]x^{10}-2x^9+2x^8+x^6-2x^5+2x^4-12x^2+24x-24=0[/tex3] , a qual admite uma raiz complexa de módulo [tex3]\sqrt2[/tex3] e argumento [tex3]\pi/4[/tex3] .
Resposta
sem acesso a gabarito
IME / ITA ⇒ (IME 1967/1968) Polinômio Tópico resolvido
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Mai 2019
18
15:30
(IME 1967/1968) Polinômio
Resolva a equação
[tex3]x^{10}-2x^9+2x^8+x^6-2x^5+2x^4-12x^2+24x-24=0[/tex3] , a qual admite uma raiz complexa de módulo [tex3]\sqrt2[/tex3] e argumento [tex3]\pi/4[/tex3] .
sem acesso a gabarito
[tex3]x^{10}-2x^9+2x^8+x^6-2x^5+2x^4-12x^2+24x-24=0[/tex3] , a qual admite uma raiz complexa de módulo [tex3]\sqrt2[/tex3] e argumento [tex3]\pi/4[/tex3] .
sem acesso a gabarito
Editado pela última vez por ALDRIN em 31 Mai 2019, 16:06, em um total de 1 vez.
Razão: arrumar título
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Mai 2019
18
23:25
Re: (IME 1967/1968) Polinômio
[tex3]x^{10}-2x^9+2x^8+x^6-2x^5+2x^4-12x^2+24x-24=0[/tex3]
[tex3](x^{10}-2x^9+2x^8)+(x^6-2x^5+2x^4)+(-12x^2+24x-24)=0[/tex3]
[tex3](x^{2}-2x+2)x^8+(x^2-2x+2)x^4-12(x^2-2x+2)=0[/tex3]
[tex3]\(x^{2}-2x+2\)\(x^8+x^4-12 \)=0[/tex3]
Determinando as raízes:
1. Raízes de [tex3]x^2-2x+2[/tex3]
[tex3]x^2-2x+2=0[/tex3]
[tex3]x_1=1-i=\sqrt 2cis\(\frac{7\pi}{4}\)[/tex3]
[tex3]x_2=1+i=\sqrt 2cis\(\frac{\pi}{4}\)[/tex3]
2. Raízes de [tex3]x^8+x^4-12[/tex3]
Seja [tex3]x^4=y[/tex3]
[tex3]y^2+y-12=0[/tex3]
[tex3]y_1=-4[/tex3]
[tex3]y_2=3[/tex3]
Daí,
[tex3]x^4=-4[/tex3]
[tex3]x^4=3[/tex3]
2.1 Raízes de [tex3]x^4=-4[/tex3]
[tex3]x^4=4.\cis(\pi)[/tex3]
[tex3]x=\sqrt 2 cis\(\frac{2k.\pi+\pi}{4}\);\quad k=0,1,2,3[/tex3]
[tex3]x=\sqrt 2 cis\(\frac{k.\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\)[/tex3]
Daí,
[tex3]x_3=\sqrt 2 cis\(\frac{\pi}{4}\)[/tex3]
[tex3]x_4=\sqrt 2 cis\(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\)=\sqrt 2 cis\(\frac{3.\pi}{4}\)[/tex3]
[tex3]x_5=\sqrt 2 cis\(\pi+\frac{\pi}{4}\)=\sqrt 2 cis\(\frac{5.\pi}{4}\)[/tex3]
[tex3]x_6=\sqrt 2 cis\(\frac{7.\pi}{4}\)[/tex3]
2.2 Raízes de [tex3]x^4=3[/tex3]
Analogamente
[tex3]x=\sqrt[4]3.cis\(\frac{2k\pi+0}{4} \)=\sqrt[4]3.cis\(\frac{k\pi}{2} \)[/tex3]
[tex3]x_7=\sqrt[4]3.cis\(0 \)[/tex3]
[tex3]x_8=\sqrt[4]3.cis\(\frac{\pi}{2} \)[/tex3]
[tex3]x_9=\sqrt[4]3.cis\(\pi \)[/tex3]
[tex3]x_{10}=\sqrt[4]3.cis\(\frac{3\pi}{2} \)[/tex3]
Basta passar da forma algébrica para a polar se preferir.
[tex3](x^{10}-2x^9+2x^8)+(x^6-2x^5+2x^4)+(-12x^2+24x-24)=0[/tex3]
[tex3](x^{2}-2x+2)x^8+(x^2-2x+2)x^4-12(x^2-2x+2)=0[/tex3]
[tex3]\(x^{2}-2x+2\)\(x^8+x^4-12 \)=0[/tex3]
Determinando as raízes:
1. Raízes de [tex3]x^2-2x+2[/tex3]
[tex3]x^2-2x+2=0[/tex3]
[tex3]x_1=1-i=\sqrt 2cis\(\frac{7\pi}{4}\)[/tex3]
[tex3]x_2=1+i=\sqrt 2cis\(\frac{\pi}{4}\)[/tex3]
2. Raízes de [tex3]x^8+x^4-12[/tex3]
Seja [tex3]x^4=y[/tex3]
[tex3]y^2+y-12=0[/tex3]
[tex3]y_1=-4[/tex3]
[tex3]y_2=3[/tex3]
Daí,
[tex3]x^4=-4[/tex3]
[tex3]x^4=3[/tex3]
2.1 Raízes de [tex3]x^4=-4[/tex3]
[tex3]x^4=4.\cis(\pi)[/tex3]
[tex3]x=\sqrt 2 cis\(\frac{2k.\pi+\pi}{4}\);\quad k=0,1,2,3[/tex3]
[tex3]x=\sqrt 2 cis\(\frac{k.\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\)[/tex3]
Daí,
[tex3]x_3=\sqrt 2 cis\(\frac{\pi}{4}\)[/tex3]
[tex3]x_4=\sqrt 2 cis\(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\)=\sqrt 2 cis\(\frac{3.\pi}{4}\)[/tex3]
[tex3]x_5=\sqrt 2 cis\(\pi+\frac{\pi}{4}\)=\sqrt 2 cis\(\frac{5.\pi}{4}\)[/tex3]
[tex3]x_6=\sqrt 2 cis\(\frac{7.\pi}{4}\)[/tex3]
2.2 Raízes de [tex3]x^4=3[/tex3]
Analogamente
[tex3]x=\sqrt[4]3.cis\(\frac{2k\pi+0}{4} \)=\sqrt[4]3.cis\(\frac{k\pi}{2} \)[/tex3]
[tex3]x_7=\sqrt[4]3.cis\(0 \)[/tex3]
[tex3]x_8=\sqrt[4]3.cis\(\frac{\pi}{2} \)[/tex3]
[tex3]x_9=\sqrt[4]3.cis\(\pi \)[/tex3]
[tex3]x_{10}=\sqrt[4]3.cis\(\frac{3\pi}{2} \)[/tex3]
Basta passar da forma algébrica para a polar se preferir.
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