Pré-Vestibular ⇒ (UNEMAT) Sequência Infinita Tópico resolvido

[skulllsux189]

Uma sequência infinita de triângulos equiláteros pode ser construída inscrevendo um triângulo dentro do outro, a partir do primeiro. Na figura abaixo estão ilustrados os três primeiros triângulos equiláteros dessa sequência.

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sabendo-se que o primeiro triângulo dessa sequência (triângulo ABC) tem lados medindo 3 cm, e que as medidas dos lados dos triângulos inscritos são iguais à metade da medida do lado do triângulo que o inscreve, assinale a alternativa que apresenta o valor da soma das áreas dos triângulos desta sequência infinita

[Planck]

Olá skulllsux189,

Primeiramente, o que fiz foi calcular apenas a área do [tex3]\triangle ABC[/tex3]

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[tex3]\triangle ABC[/tex3]

e [tex3]\triangle DFE[/tex3]

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[tex3]\triangle DFE[/tex3]

:

[tex3]A_{\triangle ABC}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}[/tex3]

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[tex3]A_{\triangle ABC}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}[/tex3]

[tex3]A_{\triangle DFE}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{16}[/tex3]

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[tex3]A_{\triangle DFE}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{16}[/tex3]

Portanto, como o exercício afirmou que é uma sequência infinita, então [tex3]\frac{a_2}{a_1}=q[/tex3]:

[tex3]\frac{\frac{9\sqrt{3}}{16}}{\frac{9\sqrt{3}}{4}}=\boxed{\frac{1}{4}}[/tex3]

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[tex3]\frac{\frac{9\sqrt{3}}{16}}{\frac{9\sqrt{3}}{4}}=\boxed{\frac{1}{4}}[/tex3]

Aplicando a fórmula da Soma de uma P.G. Infinita, temos que:

[tex3]S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{9\sqrt{3}}{4}}{1-\frac{1}{4}}[/tex3]

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[tex3]S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{9\sqrt{3}}{4}}{1-\frac{1}{4}}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{9\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{\cancel9\sqrt{3}}{\cancel4}\cdot \frac{\cancel4}{\cancel3}[/tex3]

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[tex3]\frac{\frac{9\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{\cancel9\sqrt{3}}{\cancel4}\cdot \frac{\cancel4}{\cancel3}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\boxed{S_n=3\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{S_n=3\sqrt{3}}[/tex3]

Observação: as alternativas não apareceram.