Estava vendo uns vídeos no youtube e achei um de truque algébrico
Se [tex3]x^n+\frac{1}{x^n}=k[/tex3]
então [tex3]x^n-\frac{1}{x^n}=\sqrt{k^2-4}[/tex3]
Alguém sabe uma demonstração?
Ensino Médio ⇒ Truque Algébrico Tópico resolvido
- snooplammer
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Jan 2019
20
22:12
Truque Algébrico
Editado pela última vez por snooplammer em 20 Jan 2019, 22:12, em um total de 1 vez.
- erihh3
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Jan 2019
20
23:01
Re: Truque Algébrico
[tex3]x^n+\frac{1}{x^n}=k[/tex3]
[tex3]x^n-\frac{1}{x^n}=A[/tex3]
Somando as duas expressões:
[tex3]2.x^n=k+A[/tex3]
[tex3]x^n=\frac{k+A}{2}[/tex3] (i)
Subtraindo-as
[tex3]2.\frac{1}{x^n}=k-A[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x^n}=\frac{k-A}{2}[/tex3] (ii)
Multiplicando i e ii:
[tex3]\frac{1}{x^n}.x^n=\frac{(k-A)(k+A)}{4}[/tex3]
[tex3]4=k^2-A^2[/tex3]
[tex3]A=\pm\sqrt{k^2-4}[/tex3]
Obs: Veja que sem restrições o valor negativo também é possível. Se tomarmos x=0,5 e n=1, por exemplo, [tex3]x^n-\frac{1}{x^n}[/tex3] é negativo. Isso não poderia acontecer se apenas a solução positiva fosse permitida.
Veja que
0,5+2=2,5=k
0,5-2=-1,5=A
que bate com o resultado encontrado de [tex3]-\sqrt{k^2-4}[/tex3] também.
[tex3]x^n-\frac{1}{x^n}=A[/tex3]
Somando as duas expressões:
[tex3]2.x^n=k+A[/tex3]
[tex3]x^n=\frac{k+A}{2}[/tex3] (i)
Subtraindo-as
[tex3]2.\frac{1}{x^n}=k-A[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x^n}=\frac{k-A}{2}[/tex3] (ii)
Multiplicando i e ii:
[tex3]\frac{1}{x^n}.x^n=\frac{(k-A)(k+A)}{4}[/tex3]
[tex3]4=k^2-A^2[/tex3]
[tex3]A=\pm\sqrt{k^2-4}[/tex3]
Obs: Veja que sem restrições o valor negativo também é possível. Se tomarmos x=0,5 e n=1, por exemplo, [tex3]x^n-\frac{1}{x^n}[/tex3] é negativo. Isso não poderia acontecer se apenas a solução positiva fosse permitida.
Veja que
0,5+2=2,5=k
0,5-2=-1,5=A
que bate com o resultado encontrado de [tex3]-\sqrt{k^2-4}[/tex3] também.
Editado pela última vez por erihh3 em 21 Jan 2019, 00:25, em um total de 2 vezes.
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