Resposta
[tex3][\pi ;\frac{3\pi }{2}[U]\frac{3\pi }{2};2\pi ][/tex3]
IME / ITA ⇒ (ITA - 1993)- Equação Trigonométrica Tópico resolvido
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RinaldoEN19
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Dez 2018
30
17:50
(ITA - 1993)- Equação Trigonométrica
Dada a expressão P (x)=[tex3]\sen \theta - \\tan \theta [/tex3]
x + [tex3](\sec \theta )^{2}x^{2}[/tex3]
, determine os valores de [tex3]\theta [/tex3]
no intervalo [0;2 [tex3]\pi [/tex3]
] tais que P (x) admita somente raízes reais.
[tex3][\pi ;\frac{3\pi }{2}[U]\frac{3\pi }{2};2\pi ][/tex3]
[tex3][\pi ;\frac{3\pi }{2}[U]\frac{3\pi }{2};2\pi ][/tex3]
Editado pela última vez por ALDRIN em 14 Jan 2019, 12:41, em um total de 1 vez.
Razão: arrumar título
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erihh3
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Dez 2018
30
19:32
Re: (ITA-93)- Equação Trigonométrica
Para ter apenas raízes reais, [tex3]\Delta>0[/tex3]
.
[tex3]\tan^2(\theta)-4.\sen(\theta).\sec^2(\theta)>0[/tex3]
Sabemos que [tex3]\cos(\theta)\neq0[/tex3] por conta da existência da tangente. Vamos multiplicar, então, ambos os lados por [tex3]\cos^2(\theta)[/tex3]
[tex3]\sen^2(\theta)-4.\sen(\theta)>0[/tex3]
[tex3]sen(\theta)[\sen(\theta)-4]>0[/tex3]
[tex3]\sen(\theta)-4<0;\quad \forall \theta\in\mathbb{R}[/tex3] uma vez que [tex3]-1\leq\sen(\theta)\leq1[/tex3] .
Deste modo, basta analisar
[tex3]\sen(\theta)<0[/tex3]
Daí,
[tex3]\theta\in[\pi,2\pi][/tex3]
No entanto, como vimos que [tex3]\cos(\theta)\neq0[/tex3] . Assim, [tex3]\theta\neq\pi/2[/tex3] e [tex3]\theta\neq3\pi/2[/tex3]
Portanto,
[tex3]\theta\in[\pi,2\pi]-\{3\pi/2\}[/tex3]
[tex3]\tan^2(\theta)-4.\sen(\theta).\sec^2(\theta)>0[/tex3]
Sabemos que [tex3]\cos(\theta)\neq0[/tex3] por conta da existência da tangente. Vamos multiplicar, então, ambos os lados por [tex3]\cos^2(\theta)[/tex3]
[tex3]\sen^2(\theta)-4.\sen(\theta)>0[/tex3]
[tex3]sen(\theta)[\sen(\theta)-4]>0[/tex3]
[tex3]\sen(\theta)-4<0;\quad \forall \theta\in\mathbb{R}[/tex3] uma vez que [tex3]-1\leq\sen(\theta)\leq1[/tex3] .
Deste modo, basta analisar
[tex3]\sen(\theta)<0[/tex3]
Daí,
[tex3]\theta\in[\pi,2\pi][/tex3]
No entanto, como vimos que [tex3]\cos(\theta)\neq0[/tex3] . Assim, [tex3]\theta\neq\pi/2[/tex3] e [tex3]\theta\neq3\pi/2[/tex3]
Portanto,
[tex3]\theta\in[\pi,2\pi]-\{3\pi/2\}[/tex3]
Editado pela última vez por erihh3 em 30 Dez 2018, 19:33, em um total de 1 vez.
Ciclo Básico - IME
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petras
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Dez 2018
30
20:42
Re: (ITA-93)- Equação Trigonométrica
erihh3,
Por que não se analisa as duas parcelas sendo positivas?
Por que não se analisa as duas parcelas sendo positivas?
-
erihh3
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Dez 2018
30
20:48
Re: (ITA - 1993)- Equação Trigonométrica
É porque o [tex3]\sen(\theta)[/tex3] sempre será menor que 4 por conta dele ser limitado entre 1 e -1. Se a segunda parcela fosse [tex3]\sen(\theta)-1/2[/tex3] , por exemplo, eu iria ter que fazer a análise do segundo termo também.
Editado pela última vez por ALDRIN em 14 Jan 2019, 12:42, em um total de 1 vez.
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Ciclo Básico - IME
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