Olimpíadas ⇒ Geometria - Círculo inscrito Tópico resolvido

[Andre13000]

Prove que o incentro de um triângulo é interior ao seu respectivo triângulo medial.

[Auto Excluído (ID:12031)]

O incentro de um triângulo é o ponto de Nagel do seu triângulo medial (isso é um fato conhecido)
o ponto de Nagel é sempre interior ao triângulo gerador

A prova de que o incentro é o ponto de nagel do medial está em vários lugares. A minha favorita é essa:

https://artofproblemsolving.com/community/c3103h1052171

aqui tem outra

https://www.cut-the-knot.org/Curriculum ... xplanation

[Andre13000]

A solução do problema não precisa invocar o ponto de Nagel, e de fato, há uma solução mais elementar baseada em desigualdades. Nesse caso, vamos precisar fazer trabalho algébrico, o que não é tão engenhoso quanto esse ponto, mas é um pouco mais simples.

Então seja o triângulo ABC, seu incentro I, e os pontos de contato da circunferência inscrita P, Q, R, tal que esses residem em BC, AC, AB respectivamente.

[tex3]\rho r=S=\frac{h_a a}{2}=\frac{h_b b}{2}=\frac{h_c c}{2}=\frac{\rho}{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}\\
\therefore \frac{1}{\rho}=\sum_k \frac{1}{h_k}[/tex3]

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[tex3]\rho r=S=\frac{h_a a}{2}=\frac{h_b b}{2}=\frac{h_c c}{2}=\frac{\rho}{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}\\
\therefore \frac{1}{\rho}=\sum_k \frac{1}{h_k}[/tex3]

Por outro lado:

[tex3]\frac{a}{\frac{1}{h_a}}=\frac{b}{\frac{1}{h_b}}=\frac{c}{\frac{1}{h_c}}=\frac{a+b}{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{\frac{1}{h_a}}=\frac{b}{\frac{1}{h_b}}=\frac{c}{\frac{1}{h_c}}=\frac{a+b}{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}}[/tex3]

Utilizando a desigualdade, se deduz que [tex3]\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}>\frac{1}{h_c}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}>\frac{1}{h_c}[/tex3]

Portanto, [tex3]\sum_k \frac{1}{h_k}< \frac{2}{h_i};~ i=a, b, c.[/tex3]

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[tex3]\sum_k \frac{1}{h_k}< \frac{2}{h_i};~ i=a, b, c.[/tex3]

[tex3]r<\frac{h_i}{2};~i=a,b,c.[/tex3]

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[tex3]r<\frac{h_i}{2};~i=a,b,c.[/tex3]

[Andre13000]

Não sei onde eu estava com a cabeça, é óbvio que [tex3]r<\frac{h}{2}\to h>2r[/tex3]

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[tex3]r<\frac{h}{2}\to h>2r[/tex3]

, pois se a altura for menor que o diâmetro, o círculo não residiria no interior do triângulo, tenho essa mania de complicar as coisas.

[Auto Excluído (ID:12031)]

mas então essa desigualdade não prova o exercício. Ela não dá informação sobre a posição do incentro em relação ao medial, correto?

[Andre13000]

Eu invoquei a desigualdade e não terminei o raciocínio, foi mal. Dada a altura h em relação a um dos lados do triângulo, o triângulo medial tem altura h/2. Desse modo, se r<h/2, então o centro do círculo fica dentro dos limites do triângulo medial em relação a este lado particular. Analogamente, podemos fazer o mesmo raciocínio para os outros lados e portanto o incentro é interior aos limites do triângulo medial.