Ensino Superior ⇒ Limites Laterais *envolvendo funções trigonométricas* Tópico resolvido

[SecretGirl]

Alguém pode me explicar como [tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}[/tex3]

é

Resposta

---

[tex3]\pm\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pm\sqrt{2}[/tex3]

?

Obs: como é questão de limite lateral, leia o limite como 0+ e 0-

Preciso da resolução passo a passo, agradeço!

[SecretGirl]

Agora a leitura do limite está corrigida, pronto para ser resolvido.

[Ronny]

Ola Girl,

Repara primeiro que [tex3]cos(2x)=1-\frac{(2x)^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]cos(2x)=1-\frac{(2x)^{2}}{2}[/tex3]

pois o [tex3]x [/tex3]

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[tex3]x [/tex3]

tende para [tex3]0[/tex3]

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[tex3]0[/tex3]

, desenvolvendo teremos que [tex3]cos(2x)=1-2x^{2}[/tex3]

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[tex3]cos(2x)=1-2x^{2}[/tex3]

, logo pondo ai dentro, teremos [tex3]\frac{\sqrt{1-(1-2x^{2})}}{x}=\sqrt{2}\sqrt{x^{2}}=\sqrt{2}|x|[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{1-(1-2x^{2})}}{x}=\sqrt{2}\sqrt{x^{2}}=\sqrt{2}|x|[/tex3]

, uma vez que ele tende para [tex3]0[/tex3]

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[tex3]0[/tex3]

, e nos temos um modulo, vamos avaliar lateralmente ele para esquerda e para direita a partir da propria definicao modular, ou seja,
[tex3]|x|=x \geq 0[/tex3]

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[tex3]|x|=x \geq 0[/tex3]

entao x tende a [tex3]0^+[/tex3]

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[tex3]0^+[/tex3]

, entao o limite sera simplesmente [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

e [tex3]|x|= x <0[/tex3]

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[tex3]|x|= x <0[/tex3]

entao [tex3]x [/tex3]

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[tex3]x [/tex3]

tende a [tex3]0^{-}[/tex3]

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[tex3]0^{-}[/tex3]

logo [tex3]-\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\sqrt{2}[/tex3]

.

[SecretGirl]

Olá! Como você desenvolveu cos(2x) = 1 - 2x²/2 ?


Outro ponto: na substituição, o que aconteceu com o denominador x?

[Ronny]

quando x tende a 0, entao cos(x)= 1-x^2/2.

Na substituicao, desenvolvi apenas 1-(1-2x^2) = 1-1+2x^2= 2x^2,( ou seja, 2x^2/x) logo ficaremos com apenas 2 x