Ensino Superior ⇒ Encontre todos os primos Tópico resolvido

[Superaks]

Encontre todos os pares de primos p e q positivos tais que

p - 1 | 3pq - 1
q - 1 | 3pq - 1

[Auto Excluído (ID:12031)]

p - 1 | 3pq - 1
p - 1 | 3pq - 1 - (p-1)
p - 1 | 3pq - p
p - 1 | p(3q - 1)

uma opção é p=2, nesse caso:
se p=2 então q-1 | 6q -1 ou seja q-1 | 5q e então q-1 divide 5 e então q=2
se p>2:

p - 1 | 3q - 1

analogamente

q - 1| 3p-1

3p-1 = m(q-1) -> 9p-3 = m(3q-3)
3q-1 = n(p-1)

9p-3 =m(-2 + n(p-1))
p(9-nm) = 3 -2m - mn
p(mn-9) = mn + 2m -3
[tex3]p = \frac{mn+2m-3}{mn - 9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p = \frac{mn+2m-3}{mn - 9}[/tex3]

e
[tex3]p-1 =\frac{2m+6}{mn-9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p-1 =\frac{2m+6}{mn-9}[/tex3]

como p-1 é par então [tex3]\frac{m+3}{mn-9}\geq 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{m+3}{mn-9}\geq 1[/tex3]

(e natural)
[tex3]\frac{m+3}{mn-9}\geq 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{m+3}{mn-9}\geq 1[/tex3]

[tex3]m+3 \geq mn - 9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m+3 \geq mn - 9[/tex3]

[tex3]m+12 \geq mn[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m+12 \geq mn[/tex3]

[tex3]1 + \frac{12}{m} \geq n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1 + \frac{12}{m} \geq n[/tex3]

de onde podemos concluir que: para m>12 n=1 e vice-versa, mas isso é absurdo pois dai p=3q e p é primo.
logo m e n são menores ou iguais a 12 e maiores que 1. Eu faria por testes.
m=2, 4<n<8, para n=5 temos p=11 e q = 17, para n=6 não tem solução, n=7 temos p=3 e q=5
m=3, 3<n<5, para n=4 temos p=5 e q=3
m=4, 2<n<4, n=3 não tem solução
m=5, 1<n<4, n=2 p=17, q=11, se n=3 não tem solução
m=6, 1<n<4, n=2 p=7 e q= racional não inteiro
m>6 -> n=2 -> p(2m-9) = 4m-3 ->p(2m-9)=2(2m-9) + 15 -> p =2 + 15/(2m-9)
se 2m-9=5 -> m=7, n=2, p=5 e q=3
se 2m-9 =15 -> m=12, n=2, p=3, q não é inteiro

as soluções são (2,2)(3,5)(11,17) em qualquer ordem

[Superaks]

Ótima resposta sousóeu, mas faltou um par.


Vou compartilhar minha resolução


p - 1 | 3pq - 1 -> p - 1 | 3pq - 1 - 3q(p - 1) = 3q - 1

q - 1 | 3p - 1

Se p = q,

p - 1 | 3p - 1 - 3(p - 1) = 2

p - 1 = 1 ou p - 1 = 2

p = 2 ou p = 3

(p, q) = (3, 3) ou (2, 2)

Suponha que p >

(3q - 1)/(p - 1) =

k é um inteiro

3q - 1 = k(p - 1)

Mas p > q ---> p - 1 > q ----> 3(p - 1) > 3q --> 3(p - 1) > 3q - 1 = k(p - 1)

Logo, k = 1 ou k = 2

Se k = 1

3q - 1 = p - 1

3q = p, Absurdo!

Se k = 2

3q - 1 = 2p - 2

Subtraia 2 em ambos os

3(q - 1) = 2p - 4

Logo q - 1 | 2p - 4

q - 1 | 3p - 1 -> q - 1 | 2 . (3p - 1) = 6p -2

q - 1 | 2p - 4 -> q - 1 | 3 . (2p - 4) = 6p - 12

q - 1 | (6p - 2) - (6p - 12) = 10

q - 1 = 1, 2, 5, 10

q = 2, 3, 6, 11

Se q = 2

3q - 1 = 3 . 2 - 1 = 5 = 2(p - 1)

Se q = 3

3q - 1 = 3 . 3 - 1 = 8 = 2(p - 1) -> p = 5

(p, q) = (5, 3) é solução

Se q = 11

3q - 1 = 3 . 11 - 1 = 32 = 2(p - 1) -> p = 17

(p, q) = (17, 11) é

(p, q) = (2, 2), (3, 3), (5, 3), (17, 11)