Ensino Médio ⇒ Soma de senos Tópico resolvido

[undefinied3]

Pode-se escrever [tex3]\sen\frac{2\pi}{7}+\sen\frac{4\pi}{7}+\sen\frac{8\pi}{7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen\frac{2\pi}{7}+\sen\frac{4\pi}{7}+\sen\frac{8\pi}{7}[/tex3]

como [tex3]\frac{\sqrt{a}}{b}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{a}}{b}[/tex3]

com [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

inteiros e mínimos. Calcule o valor de [tex3]\sqrt{a+b}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{a+b}[/tex3]

[Ittalo25]

Já reparou?

[tex3]\sen\frac{2\pi}{7} \cdot \sen\frac{4\pi}{7}+\sen\frac{8\pi}{7}\cdot \sen\frac{4\pi}{7} + \sen\frac{2\pi}{7}\cdot \sen\frac{8\pi}{7} = 0[/tex3]

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[tex3]\sen\frac{2\pi}{7} \cdot \sen\frac{4\pi}{7}+\sen\frac{8\pi}{7}\cdot \sen\frac{4\pi}{7} + \sen\frac{2\pi}{7}\cdot \sen\frac{8\pi}{7} = 0[/tex3]

Talvez ajude....

[undefinied3]

É um dos fatos que eu utilizo na solução que conheço, mas acho ela meio longa porque é soma de senos e não de cossenos, aí as identidades trigonométricas ficam meio zuadas... A ideia é usar [tex3]7\theta=2\pi \rightarrow 4\theta=2\pi-3\theta[/tex3]

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[tex3]7\theta=2\pi \rightarrow 4\theta=2\pi-3\theta[/tex3]

, aplicar seno dos dois lados, mas [tex3]sen(4x)[/tex3]

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[tex3]sen(4x)[/tex3]

não dá pra expressar apenas em função de sen(x), aí a gente precisa elevar ao quadrado no meio do processo e acabamos encontrando que a soma daqueles senos, mas cada um ao quadrado, é [tex3]\frac{7}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{7}{4}[/tex3]

, e daí ainda por cima precisamos lançar mão dessa identidade que você disse pra concluir que o quadrado daquela soma de senos é [tex3]\frac{7}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{7}{4}[/tex3]

, aí tira a raiz e mata o problema. Fica um pouco cansativo.

[fismatpina]

Eu tentei multiplicar por 2sen([tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

/7) dos dois lados. Aí achei que a soma era igual à cot([tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

/7)/2

Realmente a soma de senos não parece ficar tão bonita quanto a de cossenos

[Andre13000]

Seja [tex3]\psi=\cis \frac{2\pi}{7}[/tex3]

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[tex3]\psi=\cis \frac{2\pi}{7}[/tex3]

[tex3]S=\sen\frac{2\pi}{7}+\sen\frac{4\pi}{7}+\sen\frac{8\pi}{7}\\
S=\frac{\psi-\psi^{-1}+\psi^2-\psi^{-2}+\psi^4-\psi^{-4}}{2i}\\
2iS=\psi+\psi^2+\psi^{4}-\psi^{-1}-\psi^{-2}-\psi^{-4}\\
\psi^7=1\\
2iS=\psi+\psi^2+\psi^4-\psi^6-\psi^5-\psi^3\\
p=\psi+\psi^2+\psi^4\\
q=\psi^6+\psi^5+\psi^3\\
1+p+q=\sum_{n=0}^6 \psi^n=\frac{\psi^7-1}{\psi-1}=0\\
p+q=-1\\
pq=\psi^4+\psi^5+\psi^6+3\psi^7+\psi^8+\psi^9+\psi^{10}\\
pq=\psi^4+\psi^5+\psi^6+3 +\psi+\psi^2+\psi^3=3+p+q=2\\
t^2+t+2=0\\
4t^2+4t+8=0\\
4t^2+4t+1=-7\\
2t+1=\pm i\sqrt{7}\\
t=\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}\\
2iS=p-q>0\\
p=\frac{i\sqrt{7}-1}{2}\\
q=-\frac{i\sqrt{7}+1}{2}\\
2iS=i\sqrt{7}\\
S=\frac{\sqrt{7}}{2}\\
\sqrt{a+b}=3[/tex3]

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[tex3]S=\sen\frac{2\pi}{7}+\sen\frac{4\pi}{7}+\sen\frac{8\pi}{7}\\
S=\frac{\psi-\psi^{-1}+\psi^2-\psi^{-2}+\psi^4-\psi^{-4}}{2i}\\
2iS=\psi+\psi^2+\psi^{4}-\psi^{-1}-\psi^{-2}-\psi^{-4}\\
\psi^7=1\\
2iS=\psi+\psi^2+\psi^4-\psi^6-\psi^5-\psi^3\\
p=\psi+\psi^2+\psi^4\\
q=\psi^6+\psi^5+\psi^3\\
1+p+q=\sum_{n=0}^6 \psi^n=\frac{\psi^7-1}{\psi-1}=0\\
p+q=-1\\
pq=\psi^4+\psi^5+\psi^6+3\psi^7+\psi^8+\psi^9+\psi^{10}\\
pq=\psi^4+\psi^5+\psi^6+3 +\psi+\psi^2+\psi^3=3+p+q=2\\
t^2+t+2=0\\
4t^2+4t+8=0\\
4t^2+4t+1=-7\\
2t+1=\pm i\sqrt{7}\\
t=\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}\\
2iS=p-q>0\\
p=\frac{i\sqrt{7}-1}{2}\\
q=-\frac{i\sqrt{7}+1}{2}\\
2iS=i\sqrt{7}\\
S=\frac{\sqrt{7}}{2}\\
\sqrt{a+b}=3[/tex3]