IME / ITA ⇒ (Farias Brito - prof MM) Equação Exponencial Tópico resolvido

[Gu178]

Para quantos números reais x temos [tex3]2^x+3^x-4^x+6^x-9^x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^x+3^x-4^x+6^x-9^x=1[/tex3]

Resposta

---

1

[undefinied3]

Podemos reescrever como
[tex3]a+b-a^2+ab-b^2=1 \rightarrow a^2-(b+1)a+b^2-b+1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b-a^2+ab-b^2=1 \rightarrow a^2-(b+1)a+b^2-b+1=0[/tex3]

Resolvendo a quadrática em a:
[tex3]\Delta=b^2+2b+1-4b^2+4b-4=-3b^2+6b-3=-3(b-1)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta=b^2+2b+1-4b^2+4b-4=-3b^2+6b-3=-3(b-1)^2[/tex3]

[tex3]a=\frac{b+1 \pm \sqrt{-3(b-1)^2}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=\frac{b+1 \pm \sqrt{-3(b-1)^2}}{2}[/tex3]

Como estamos nos reais, aquele delta deve ser não negativo. Repare que a única forma é se [tex3]b=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=1[/tex3]

, pois aquele quadrado é sempre positivo e temos um valor negativo multiplicando-o.
[tex3]\therefore b=1 \rightarrow a=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore b=1 \rightarrow a=1[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
2^x=1 \\
3^x=1
\end{cases} \rightarrow x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
2^x=1 \\
3^x=1
\end{cases} \rightarrow x=0[/tex3]

Então só há um único valor de x.

[Gu178]

Obrigado mesmo pela ajuda!