Ensino Superior ⇒ Limite - Está correto ?

[oberstoben]

Olá pessoal
Estou fazendo uma lista de exercícios e me deparei com o seguinte :

Seja [tex3]f(x) = \begin{cases}x^2\text{ se } x \le 1 \\ \sqrt{x} \text{ se } x > 1\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = \begin{cases}x^2\text{ se } x \le 1 \\ \sqrt{x} \text{ se } x > 1\end{cases}[/tex3]

Determine se [tex3]f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[/tex3]

é diferenciável em [tex3]x = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 1[/tex3]

. Caso seja, encontre o valor da derivada neste ponto.

Calculando,eu achei que [tex3]f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)[/tex3]

não é diferenciável em [tex3]x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=1[/tex3]

. Está correto ?

Obg

[LucasPinafi]

[tex3]f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1) }{x- 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1) }{x- 1}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1^2 }{x -1 } = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1) (x+1 ) }{x-1} = \lim_{x\to 1} (x+1) = 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1^2 }{x -1 } = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1) (x+1 ) }{x-1} = \lim_{x\to 1} (x+1) = 2[/tex3]

[tex3]\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt x - 1}{ x- 1} = \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt x - 1}{( \sqrt x - 1) (\sqrt x + 1) } = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt x + 1} = \frac 1 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt x - 1}{ x- 1} = \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt x - 1}{( \sqrt x - 1) (\sqrt x + 1) } = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt x + 1} = \frac 1 2[/tex3]

Como os limites laterias não são iguais, segue que [tex3]\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1) }{x-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1) }{x-1}[/tex3]

não existe e a função não é diferenciável nesse ponto. Graficamente, há um bico em x = 1.