Resposta
Representemos os dígitos desconhecidos de [tex3]2^{n}[/tex3] e [tex3]5^{n}[/tex3]
com asteriscos. Se k e l sao as quantidades de algarismos
de cada um deles, temos:
d.[tex3]10^{k}[/tex3] < d***...*= 2n < (d + 1)[tex3]10^{k}[/tex3]
d.[tex3]10^{l}[/tex3] < d***...*= 5n < (d + 1)[tex3]10^{l}[/tex3]
Multiplicando ambas as inequações, obtemos [tex3]10^{k}[/tex3] +l [tex3]d^{2}[/tex3] <
[tex3]10^{n}[/tex3] < [tex3]10^{k+l}[/tex3] [tex3](d + 1)^{ 2}[/tex3] . Cancelando [tex3]10^{k+l}[/tex3] em ambos
os lados, concluimos que existe uma potencia de 10 entre
[tex3]d^{2}[/tex3] e [tex3](d + 1)^{ 2}[/tex3] . Analisando os quadrados dos digitos
de 1 ate 9, percebemos que isso ocorre apenas para
d = 3( [tex3]3^{2}[/tex3] < 10 < [tex3]4^{2}[/tex3] ).
