Ensino Médio

Mensagem não lidapor **nina** » 13 Set 2015, 21:13 · Mensagem não lida por **nina** » 13 Set 2015, 21:13

ABC é um triângulo isósceles no qual Â=120º e AB = AC = 2a. Pelo vértice A, levanta-se uma perpendicular ao plano do triângulo e une-se um ponto M dessa perpendicular ao plano do triângulo e une-se um ponto M dessa perpendicular aos vértices B e C. Calcular AM de modo que o ângulo BMC seja reto.

Resposta

[tex3]a \sqrt{2}[/tex3]

Obrigada desde já.

Mensagem não lidapor **poti** » 14 Set 2015, 02:03 · Mensagem não lida por **poti** » 14 Set 2015, 02:03

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Questão bonita. Primeiro, aplique Lei dos Cossenos no $ABC$ :

$\overline{BC}^2 = (2a)^2 + (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 2a \cdot cos(120^{\circ})$
$\overline{BC}^2 = 4a^2 + 4a^2 - 8a^2 \cdot (-\frac{1}{2})$
$\overline{BC}^2 = 12a^2$

$\boxed{\overline{BC} = 2\sqrt{3}a}$

Como ele quer $B \^M C$ reto, Pitágoras funciona no triângulo $BMC$ :

$(\overline{BC})^2 = x^2 + x^2$
$(2\sqrt{3}a)^2 = 2x^2$
$12a^2 = 2x^2$
$6a^2 = x^2$

$\boxed{x = a\sqrt{6}}$

Agora, basta aplicar Pitágoras no triângulo $AMB$ :

$x^2 = (\overline{AM})^2 + (2a)^2$
$(a\sqrt{6})^2 = (\overline{AM})^2 + (2a)^2$
$6a^2 = (\overline{AM})^2 + 4a^2$
$2a^2 = (\overline{AM})^2$

$\boxed{\overline{AM} = a\sqrt{2}}$

O truque pra essas questões é sempre observar o que ele deu. Se os lados estão em função de $a$ , tudo o que você adicionou pra resolver precisa estar escrito em função de $a$ . Foi isso que eu fiz com o meu $x$ .

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